Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {Träger}{}{}
der folgenden $6$-Tupel mit Werten in $\R$.
\aufzaehlungsechs{
\mathl{\left( 7 , \, 1 , \, 0 , \, 0 , \, 5 , \, 0 \right)}{,}
}{
\mathl{\left( 1 , \, 2 , \, 3 , \, 4 , \, 5 , \, 6 \right)}{,}
}{
\mathl{\left( 0 , \, 0 , \, 0 , \, 0 , \, 0 , \, 0 \right)}{,}
}{
\mathl{\left( 7 , \, -10 , \, 4 , \, 4 , \, 5 , \, -19 \right)}{,}
}{
\mathl{\left( 0 , \, 1 , \, 0 , \, 0 , \, 0 , \, 0 \right)}{,}
}{
\mathl{\left( 0 , \, 5 , \, 0 , \, -5 , \, 5 , \, 0 \right)}{.}
}
Wie sieht die Antwort in einem Körper der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$5$ aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {simplizialen Komplexe}{}{} auf einer höchstens dreielementigen Grundmenge und skizziere die \definitionsverweis {zugehörige Achsenraumkonfiguration}{}{} und die \definitionsverweis {geometrische Realisierung}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ein
\definitionsverweis {simplizialer Komplex}{}{}
$\Delta$ auf der Menge $V$ und ein Körper $K$ gegeben. Zeige, dass die zu $\Delta$ gehörende
\definitionsverweis {Achsenraumkonfiguration}{}{}
über $K$ die Beschreibungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Delta (K)
}
{ =} { \bigcup_{ F \in \Delta} K^F
}
{ =} { \bigcup_{ F \in \Delta,\, F \text{ Facette} } K^F
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{V(XYZ)
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beschreibe die möglichen Schnitte von $V$ mit einer Ebene durch den Nullpunkt. Was ist der \anfuehrung{typische}{} Schnitt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme und skizziere für jede
\definitionsverweis {Achsenraumkonfiguration}{}{}
$A$ im $\R^n$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1,2,3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
den Durchschnitt
\mathl{A \cap S^{n-1}}{} mit der
\definitionsverweis {Sphäre}{}{.}
Welche topologischen Eigenschaften besitzt dieser Schnitt
\zusatzklammer {\definitionsverweis {Zusammenhangskomponenten}{}{,}
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{,}
Mannigfaltigkeitsstruktur} {} {?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man eine
\definitionsverweis {Achsenraumkonfiguration}{}{}
$A$ im $\R^n$ aus ihrem Durchschnitt
\mathl{A \cap S^{n-1}}{} mit der
\definitionsverweis {Sphäre}{}{}
rekonstruieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Delta(K)
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Achsenraumkonfiguration}{}{.}
Zeige, dass $\Delta(K)$ eine
\definitionsverweis {Unterhalbgruppe}{}{}
des affinen Raumes ist, wenn man diesen mit der komponentenweisen Multiplikation als Verknüpfung versieht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die reelle
\definitionsverweis {Achsenraumkonfiguration}{}{}
$A$ im $\R^n$ sich aus dem Schnitt
\mathl{A \cap H}{,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { { \left\{ (x_1 , \ldots , x_n) \in \R^n \mid \sum_{ j = 1}^n x_j = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
rekonstruieren läst, indem man zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ A \cap H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gerade durch den Nullpunkt und $P$ nimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Vor- oder Nachteile hat es, einen
\definitionsverweis {simplizialen Komplex}{}{}
auf einer beliebigen Menge $V$ oder auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} anzusetzen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass sich über dem Körper $K$ mit zwei Elementen eine
\definitionsverweis {Achsenraumkonfiguration}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Allgemeinen nicht aus dem Durchschnitt
\mathl{A \cap H}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ { \left\{ (x_1 , \ldots , x_n) \mid x_1 + \cdots + x_n = 1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
rekonstruieren lässt.
}
{} {}
Es sei $\Delta$ ein
\definitionsverweis {simplizialer Komplex}{}{}
auf der Menge $V$ und $\Delta'$ ein simplizialer Komplex auf der
\zusatzklammer {zu $V$ disjunkten} {} {}
Menge $W$. Dann nennt man den simplizialen Komplex auf
\mathl{V \cup W}{,} der aus allen Seiten der Form
\mathl{S \cup T}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \in }{\Delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \in }{\Delta'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht, das
\definitionswort {Smashprodukt}{}
von
\mathkor {} {\Delta} {und} {\Delta'} {.}
Es wird mit
\mathl{\Delta \wedge \Delta'}{} bezeichnet.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\Delta$ ein
\definitionsverweis {simplizialer Komplex}{}{}
auf der Menge $V$ und $\Delta'$ ein simplizialer Komplex auf der Menge $W$ mit den zugehörigen
\definitionsverweis {Achsenraumkonfigurationen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Delta (K)
}
{ \subseteq }{ K^V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Delta' (K)
}
{ \subseteq }{ K^W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann in
\mathl{K^{V \cup W}}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K(\Delta) \times K(\Delta')
}
{ =} { K( \Delta \wedge \Delta')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht, wobei
\mathl{\Delta \wedge \Delta'}{} das
\definitionsverweis {Smashprodukt}{}{}
der beiden simplizialen Komplexe bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdrei{Skizziere die Nullstellengebilde
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { V(XY,XZ,YZ)
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} {V(ST(S-T))
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im reellen Fall.
}{Stifte einen bijektiven Morphismus
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {.}
}{Zeige, dass der Morphismus $\varphi$ außerhalb des Nullpunktes ein Isomorphismus ist
\zusatzklammer {die Charakteristik des Körpers sei $\neq 2$} {} {.}
}
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Triangulación.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der ursprüngliche Ausgangspunkt für simpliziale Komplexe war es, komplizierte topologische Gebilde durch einfachere Gebilde zu approximieren, deren Kombinatorik die topologischen Eigenschaften widerspiegeln soll. Man spricht von einer \stichwort {Triangulierung} {.}} }
\bildlizenz { Triangulación.svg } {} {Magister Mathematicae} {Commons} {CC0 1.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Grundmenge und den \definitionsverweis {simplizialen Komplex}{}{,} der im Bild erkennbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man charakterisiere die Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\aufzaehlungdrei{die erste
\definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{,}
}{die zweite partielle Ableitung,
}{beide partiellen Ableitungen
}
$0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise
den Satz von Schwarz
für den
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} über einem beliebigen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, also die Vertauschbarkeit von
\definitionsverweis {formalen partiellen Ableitungen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F, G
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome. Zeige, dass für die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
die Produktregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \partial_i (FG)
}
{ =} { F \partial_i (G) + G \partial_i (F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_m
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_\ell ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_1 , \ldots , G_n
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_m ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome, die zu den
\definitionsverweis {polynomialen Abbildungen}{}{}
\mathdisp {{ {\mathbb A}_{ K }^{ \ell } } \stackrel{F}{\longrightarrow} { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } \stackrel{G}{\longrightarrow} { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }} { }
Anlass geben. Es seien
\mathkor {} {J (F)_P} {und} {J (G)_Q} {}
die durch
\definitionsverweis {formales partielles Ableiten}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Jacobi-Matrizen}{}{.}
Beweise die formale Kettenregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J ( G \circ F)_P
}
{ =} { J(G)_{F(P)} \circ J(F)_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{G \subseteq \R^n}{} offen und
\maabbdisp {\varphi} {G} {\R^m
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{,}
die im Punkt
\mathl{P\in G}{} ein surjektives
\definitionsverweis {totales Differential}{}{}
besitze. Es sei
\maabbdisp {\psi} {U} {\R^n
} {}
\zusatzklammer {mit
\mathl{U \subseteq \R^{n-m}}{} offen} {} {}
ein lokaler
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
auf die Faser durch $P$, bei dem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $P$ abgebildet wird. Zeige, dass man den
\definitionsverweis {Tangentialraum an die Faser}{}{}
durch $P$ auch als
\mathdisp {{ \left\{ P+ { \left( D\psi \right) }_{Q} { \left( u \right) } \mid u \in \R^{n-m} \right\} }} { }
beschreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
an die Faser im Punkt
\mathl{(2,-1,3)}{} der
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} {(x,y,z)} {\left( x^2e^z-y^3 , \, { \frac{ x }{ e^{yz} } } \right)
} {,}
und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { \R ^3 } {\R^2 } {(x,y,z)} {\left( x^2+y^2+z^2 , \, 2x+3y+4z \right) } {.}
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung $\varphi$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(1,-2,1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
regulär ist.
b) Beschreibe für den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(1,-2,1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Tangentialraum an die Faser}{}{}
$F$ von $\varphi$ durch $P$.
c) Man gebe für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (1,-2,1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von $P$ in der Faser $F$ durch $P$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {x^2+y^2+z^2
} {,}
im Punkt $P=(1,-1,2)$. Man gebe eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {U} {\R^3
} {}
an, wobei $U$ eine möglichst große
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
des
\definitionsverweis {Tangentialraumes}{}{}
\mathl{T_PF}{} an die Faser $F_P$ von $\varphi$ durch $P$ ist, die eine Bijektion zwischen $U$ und
\mathl{V \cap F_P}{} stiftet
\zusatzklammer {\mathlk{P \in V \subseteq \R^3}{} offen} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den singulären Ort der Hyperfläche
\mathl{V { \left( X^2+Y^3Z^2+Z^2 \right) }}{} und zeige, dass es sich nicht um eine
\definitionsverweis {isolierte Singularität}{}{}
handelt.
}
{} {}