Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 3
- Aufgaben
Es sei . Bestimme den Träger der folgenden -Tupel mit Werten in .
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Wie sieht die Antwort in einem Körper der Charakteristik aus?
Bestimme sämtliche simplizialen Komplexe auf einer höchstens dreielementigen Grundmenge und skizziere die zugehörige Achsenraumkonfiguration und die geometrische Realisierung.
Es sei ein simplizialer Komplex auf der Menge und ein Körper gegeben. Zeige, dass die zu gehörende Achsenraumkonfiguration über die Beschreibungen
besitzt.
Es sei . Beschreibe die möglichen Schnitte von mit einer Ebene durch den Nullpunkt. Was ist der „typische“ Schnitt?
Bestimme und skizziere für jede Achsenraumkonfiguration im , , den Durchschnitt mit der Sphäre. Welche topologischen Eigenschaften besitzt dieser Schnitt (Zusammenhangskomponenten, Fundamentalgruppe, Mannigfaltigkeitsstruktur)?
Zeige, dass man eine Achsenraumkonfiguration im aus ihrem Durchschnitt mit der Sphäre rekonstruieren kann.
Es sei eine Achsenraumkonfiguration. Zeige, dass eine Unterhalbgruppe des affinen Raumes ist, wenn man diesen mit der komponentenweisen Multiplikation als Verknüpfung versieht.
Zeige, dass die reelle Achsenraumkonfiguration im sich aus dem Schnitt , mit
rekonstruieren läst, indem man zu jedem Punkt die Gerade durch den Nullpunkt und nimmt.
Welche Vor- oder Nachteile hat es, einen simplizialen Komplex auf einer beliebigen Menge oder auf anzusetzen?
Zeige, dass sich über dem Körper mit zwei Elementen eine Achsenraumkonfiguration im Allgemeinen nicht aus dem Durchschnitt mit rekonstruieren lässt.
Es sei ein simplizialer Komplex auf der Menge und ein simplizialer Komplex auf der (zu disjunkten) Menge . Dann nennt man den simplizialen Komplex auf , der aus allen Seiten der Form mit und besteht, das Smashprodukt von und . Es wird mit bezeichnet.
Es sei ein simplizialer Komplex auf der Menge und ein simplizialer Komplex auf der Menge mit den zugehörigen Achsenraumkonfigurationen und . Zeige, dass dann in die Beziehung
besteht, wobei das Smashprodukt der beiden simplizialen Komplexe bezeichnet.
- Skizziere die Nullstellengebilde
und
im reellen Fall.
- Stifte einen bijektiven Morphismus
- Zeige, dass der Morphismus außerhalb des Nullpunktes ein Isomorphismus ist (die Charakteristik des Körpers sei ).
Bestimme die Grundmenge und den simplizialen Komplex, der im Bild erkennbar ist.
Es sei ein Körper der Charakteristik . Man charakterisiere die Polynome mit der Eigenschaft, dass
- die erste partielle Ableitung,
- die zweite partielle Ableitung,
- beide partiellen Ableitungen
sind.
Beweise den Satz von Schwarz für den Polynomring über einem beliebigen Körper , also die Vertauschbarkeit von formalen partiellen Ableitungen.
Es sei ein Körper und seien Polynome. Zeige, dass für die partiellen Ableitungen die Produktregel
gilt.
Es sei ein Körper und seien und Polynome, die zu den polynomialen Abbildungen
Anlass geben. Es seien und die durch formales partielles Ableiten definierten Jacobi-Matrizen. Beweise die formale Kettenregel
Es sei offen und
eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ein surjektives totales Differential besitze. Es sei
(mit offen) ein lokaler Diffeomorphismus auf die Faser durch , bei dem auf abgebildet wird. Zeige, dass man den Tangentialraum an die Faser durch auch als
beschreiben kann.
Bestimme den Tangentialraum an die Faser im Punkt der Abbildung
und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.
Wir betrachten die Abbildung
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung . Zeige, dass regulär ist.
b) Beschreibe für den Punkt den Tangentialraum an die Faser von durch .
c) Man gebe für einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von in der Faser durch an.
Wir betrachten die Abbildung
im Punkt . Man gebe eine differenzierbare Abbildung
an, wobei eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes an die Faser von durch ist, die eine Bijektion zwischen und stiftet ( offen).
Bestimme den singulären Ort der Hyperfläche und zeige, dass es sich nicht um eine isolierte Singularität handelt.
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