Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 4

Aufgaben

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy,xz).$

Bestimme die glatten Punkte zur Nullstellenmenge von ${}\varphi$. Für welche Punkte kann man (bei ${}K=\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$) den Satz über implizite Abbildungen anwenden, für welche muss man die Definition 3.15 heranziehen?

Aufgabe

Zeige, dass das Stanley-Reisner-Ideal ${}I_{\Delta }$ (über einem Körper) zu einem simplizialen Komplex ein Radikal ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Stanley-Reisner-Ideal ${}I_{\Delta }$ (über einem Körper) zu einem simplizialen Komplex nur dann ein Primideal ist, wenn ${}\Delta$ nur eine Facette besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}I_{\Delta }\subseteq K[X_{v},\,v\in V]$ das Stanley-Reisner-Ideal zu einem simplizialen Komplex ${}\Delta$ und sei ${}S$ eine Seite von ${}\Delta$. Zeige

${}I_{\Delta }\subseteq (X_{v},\,v\notin S)=:{\mathfrak {p}}_{S}\,.$

Zeige ferner, dass ${}{\mathfrak {p}}_{S}$ ein Primideal im Polynomring ist und dass es keine Primideale zwischen ${}I_{\Delta }$ und ${}{\mathfrak {p}}_{S}$ für Facetten ${}S$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Achsenraumkonfiguration. Zeige, dass der singuläre Ort von ${}V$ ebenfalls eine Achsenraumkonfiguration ist.

Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in ${}n$ Variablen genau ${}{\binom {d+n-1}{n-1}}$ Monome vom Grad ${}d$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in ${}n$ Variablen genau ${}{\binom {d+n}{n}}$ Monome vom Grad ${}\leq d$ gibt.

Aufgabe

Wir betrachten das maximale Ideal

${}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

im Polynomring über einem Körper ${}K$ und seine Potenzen ${}{\mathfrak {m}}^{d}$. Zeige, dass die Monome

$X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}<d,$

eine ${}K$- Basis des Restklassenringes ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d}$ bildet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und

${}I=(X^{\nu _{j}},j\in J)\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

ein monomiales Ideal. Zeige, dass ein Polynom ${}P\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ genau dann zu ${}I$ gehört, wenn sämtliche Monome, die in ${}P$ (mit einem Koeffizienten ${}\neq 0$) vorkommen, zu ${}I$ gehören.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für zwei monomiale Ideale ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ in einem Polynomring und einer natürlichen Zahl ${}d$ derart, dass das Produkt ${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$ ein Erzeugendensystem von Monomen vom Grad ${}\leq d$ besitzt, die beiden Ideale aber nicht.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass die Potenzen ${}{\mathfrak {a}}^{n},\,n\in \mathbb {N} _{+}$, alle dasselbe Radikal besitzen.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ das durch die Variablen erzeugte maximale Ideal im Polynomring über einem Körper ${}K$ und ${}f$ ein Polynom mit ${}f\in {\mathfrak {m}}^{s}$. Zeige, dass für jede formale partielle Ableitung

${}{\frac {\partial f}{\partial X_{i}}}\in {\mathfrak {m}}^{s-1}\,$

gilt.

Aufgabe

Berechne in ${}\mathbb {Q} [X,Y,Z]/(XY,XZ)$ das Produkt

${\left(3+3X-5X^{2}-4Y-2Y^{2}+3Z-Z^{3}+YZ-Y^{2}Z+2YZ^{3}\right)}\cdot {\left(-2+3X-X^{3}+Y+Z+5Y^{3}-Z^{2}-2YZ+Y^{2}Z^{2}\right)}.$

Aufgabe

Es sei ${}R=K[X,Y]/(XY)$ und ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$ das maximale Ideale von ${}R$. Bestimme eine Formel für die ${}K$- Dimension der Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}$ für ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe

Es sei ${}R=K[X,Y]/(XYZ)$ und ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y,Z)$ das maximale Ideale von ${}R$. Bestimme eine Formel für die ${}K$- Dimension der Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}$ für ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe

Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }$ ein Stanley-Reisner-Ring der Dimension ${}d$ (d.h. die maximale Elementanzahl in einer Facette von ${}\Delta$ sei ${}d$) und ${}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ das homogene maximale Ideal davon. Vergleiche die Größenordnung der Funktion

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,s\longmapsto \dim _{K}{\left(R/{\mathfrak {m}}^{s}\right)},$

mit der entsprechenden Funktion für einen Polynomring in ${}d$ Variablen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ${}a+b$ nur dann eine Einheit ist, wenn ${}a$ oder ${}b$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. ${}R$ hat genau ein maximales Ideal
2. Die Menge der Nichteinheiten ${}R\setminus R^{\times }$ bildet ein Ideal in ${}R$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring mit Restekörper ${}K$. Zeige, dass ${}R$ und ${}K$ genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn ${}R$ einen Körper enthält.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring und ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal von ${}R$. Zeige, dass

$R^{\times }\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{\times }$

surjektiv ist.

Aufgabe

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$, die lokal sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von ${}R$ an maximalen Idealen zueinander isomorph sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und betrachte das Achsenkreuz

${}V=V(XY)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,.$

Bestimme für jeden Punkt ${}P\in V$, ob der lokale Ring an ${}P$ ein Integritätsbereich ist oder nicht.

Aufgabe

Wir betrachten die Neilsche Parabel

${}C=V(X^{2}-Y^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von ${}C$ an Punkten ${}P\neq (0,0)$ zueinander isomorph sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ die Lokalisierung im Nullpunkt der Kurve

${}C=V(Y^{2}-X^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

und es sei ${}S$ die Lokalisierung des Achsenkreuzes im Nullpunkt. Sind diese beiden lokalen Ringe isomorph?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal mit Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann ${}R_{\mathfrak {m}}$ auch eine Lokalisierung von ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine endlich erzeugte ${}K$- Algebra. Es sei ${}S=R_{\mathfrak {m}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Zeige, dass der Restekörper von ${}S$ endlich über ${}K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, sei ${}f\in R$ und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}$ genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ gilt, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre, endlich erzeugte ${}K$- Algebren. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ${}K$- Algebrahomomorphismus und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in ${}S$ mit ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}$. Die Abbildung induziere einen Isomorphismus ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}$. Zeige, dass es dann auch ein ${}f\in R$, ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$, gibt derart, dass ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ${}S=R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(S)$ und ${}R_{\mathfrak {p}}$ ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

${}Q(S)\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,$

vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}\Delta$ ein simplizialer Komplex und ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }$ der zugehörige Stanley-Reisner-Ring. Es sei ${}P\in \Delta (K)$ ein Punkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq R$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}P$ ist ein glatter Punkt von ${}\Delta (K)$.
2. Die Lokalisierung ${}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ ist ein Integritätsbereich.
3. Die Lokalisierung ${}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ ist isomorph zu einer Lokalisierung eines Polynomringes an einem maximalen Ideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}V{\left(f_{1},\ldots ,f_{s}\right)}\subseteq K^{n}$ eine affin-algebraische Menge und ${}g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zeige, dass durch

$\varphi \colon V\cap D(g)\longrightarrow W,\,\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{1},\ldots ,x_{n},{\frac {1}{g(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right),$

eine stetige Bijektion mit

${}W=V{\left(f_{1},\ldots ,f_{s},gY-1\right)}\subseteq K^{n+1}\,$

gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass in der Situation von Aufgabe 4.32 ein Punkt ${}P\in V$ genau dann glatt ist, wenn ${}\varphi (P)\in W$ glatt ist.

Wir werden später sehen, dass die Glattheit eine intrinsische Eigenschaft des Punktes bzw. des lokalen Ringes ist.