Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 5

Aufgabe

Skizziere die folgenden Nullstellengebilde in ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}V(XY-1)$,
2. ${}V(XY+1)$,
3. ${}V(X^{2}Y-1)$,
4. ${}V(X^{2}Y^{2}-1)$.

Aufgabe

Skizziere die folgenden Nullstellengebilde in ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}V(X^{2}-Y^{2})$,
2. ${}V(X^{2}Y-XY^{2})$,
3. ${}V(X^{2}-XY^{2})$,
4. ${}V(X^{2}-Y^{3})$,
5. ${}V(X^{2}-Y^{4})$.

Aufgabe

Bestimme die Nullstellenmenge der binomialen Gleichung ${}X^{n}=1$ über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, seien ${}a,b\in \mathbb {N}$ teilerfremde Zahlen und sei ${}X^{a}-Y^{b}\in K[X,Y]$ das zugehörige binomiale Polynom. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Das Polynom ${}X^{a}-Y^{b}$ ist irreduzibel.
2. Es gibt eine bijektive polynomiale Abbildung

   $K\longrightarrow V(X^{a}-Y^{b})\subseteq K^{2},\,t\longmapsto (t^{b},t^{a}).$

3. Bei ${}a,b\geq 2$ besitzt ${}V(X^{a}-Y^{b})$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt.

Aufgabe

Betrachte die durch

${}C=V{\left(X^{d+1}-Y^{d}\right)}\,$

definierte algebraische Kurve ${}C$ ($d\geq 1$). Zeige, dass man folgendermaßen, ausgehend von der Geraden ${}H=V(X-1)$, eine Parametrisierung von ${}C$ erhält: Zu einem Punkt ${}P\in H$ bestimmt man die Verbindungsgerade ${}G_{P}$ von ${}P$ und dem Nullpunkt und den einzigen (?) vom Nullpunkt verschiedenen Punkt von ${}C\cap G_{P}$. Zeige, dass die Abbildung, die ${}P$ auf diesen Punkt abbildet, algebraisch ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, seien ${}a,b\in \mathbb {N}$ teilerfremde Zahlen und sei ${}X^{a}-Y^{b}\in K[X,Y]$ das zugehörige binomiale Polynom.

1. Zeige, dass der durch ${}X\mapsto T^{b}$, ${}Y\mapsto T^{a}$, gegebene ${}K$- Algebrahomomorphismus

   $K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\longrightarrow K[T]$

   injektiv ist.

2. Zeige, dass dieser Homomorphismus einen Isomorphismus

   ${\left(K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\right)}_{X}\longrightarrow K[T]_{T}$

   induziert.

3. Man folgere, dass für jedes ${}c\in K$, ${}c\neq 0$, ein Isomorphismus von lokalen Ringen

   ${\left(K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\right)}_{(X-c^{b},Y-c^{a})}\longrightarrow K[T]_{(T-c)}$

   vorliegt.

4. Zeige, dass der induzierte Homomorphismus

   ${\left(K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\right)}_{(X,Y)}\longrightarrow K[T]_{(T)}$

   kein Isomorphismus ist.

Ein wichtiger und suggestiver Ansatz, um die lokale Dimension einer (eingebetteten) Varietät ${}V\subseteq K^{n}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ in einem Punkt ${}P\in V$ zu erfassen, ist es, ${}V$ mit affin-linearen Unterräumen ${}L$ unterschiedlicher Dimension, die durch den Punkt verlaufen, zu schneiden, und zu schauen, ob der Durchschnitt den Punkt isoliert, ob also in einer offenen Umgebung des Punktes ${}V\cap L=\{P\}$ gilt. Die lokale Dimension ${}d$ im Punkt ${}P$ ist dann definiert durch die Eigenschaft, dass es ${}n-d$-dimensionale lineare Räume durch den Punkt ${}P$ gibt, die den Punkt isolieren, aber keine ${}n-d+1$-dimensionale Räume mit dieser Eigenschaft. Beispielsweise ist

${}P\in V\subseteq K^{3}\,$

zweidimensional, wenn es Geraden gibt, die den Punkt herausschneiden, aber der Schnitt mit jeder Ebene den Punkt nicht herausschneidet.

Dieser Ansatz wird in Korollar 22.10 begründet. Einige der folgenden Aufgaben beruhen auf dieser Sichtweise. Man überprüfe diesen Ansatz auch für die Achsenraumkonfigurationen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}V=V(XY-Z^{n})\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$.

1. Zeige, dass der Durchschnitt von ${}V$ mit jeder Ebene durch den Nullpunkt nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht.
2. Zeige, dass es Geraden durch den Nullpunkt derart gibt, dass der Durchschnitt ${}V\cap G$ nur aus endlich vielen Punkten besteht.

Aufgabe

Es sei

${}V=V{\left(Z^{2}-X^{2}-Y^{2}\right)}\subset \mathbb {R} ^{3}\,$

der reelle Standardkegel. Zeige, dass es eine Ebene durch den Nullpunkt mit

${}V\cap E=\{(0,0,0)\}\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei

${}V=V{\left(Z^{2}-XY\right)}\subset \mathbb {R} ^{3}\,.$

Zeige, dass es eine Ebene durch den Nullpunkt mit

${}V\cap E=\{(0,0,0)\}\,$

gibt.

Aufgabe *

Sei

${}V=V(Z^{2}-XY)\subset \mathbb {R} ^{3}\,$

und setze

${}V_{+}={\left\{(x,y,z)\in V\setminus \{(0,0,0)\}\mid x,y\geq 0\right\}}\,.$

Zeige, dass

$\mathbb {R} _{+}\times S^{1}\longrightarrow V_{+},\,(\alpha ,\theta )\longmapsto \left({\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\alpha }{2}}\sin \theta ,\,{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {\alpha }{2}}\sin \theta ,\,{\frac {\alpha }{2}}\cos \theta \right),$

eine Homöomorphie ist.

Aufgabe

Zeige, dass die ${}\mathbb {R}$- Algebren ${}\mathbb {R} [X,Y,Z]/(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ und ${}\mathbb {R} [X,Y,Z]/(Z^{2}-XY)$ isomorph sind, aber nicht, wenn man ${}Z$ auf ${}Z$ abbildet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}V(f)\subseteq K^{n}$ die algebraische Hyperfläche zu einem nichtkonstanten Polynom ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Sei ${}P\in V$ ein Punkt. Zeige, dass es Geraden durch den Punkt ${}P$ gibt, deren Durchschnitt mit ${}V$ endlich ist. Zeige, dass der Durchschnitt von ${}V$ mit jeder Ebene durch den Punkt ${}P$ nicht endlich ist (und dass ${}P$ kein isolierter Punkt des Durchschnitts ist).

Aufgabe

Bestimme die singulären Punkte der durch ${}X^{a}Y^{b}=Z^{c}$ gegebenen Hyperfläche im ${}{\mathbb {C} }^{3}$

Wir besprechen eine andere Sichtweise auf Beispiel 5.7.

Aufgabe

1. Zeige, dass der Restklassenring

   $K[X,Y,Z]/(X-YZ,Y-XZ)$

   zum Restklassenring

   $K[X,Z]/{\left(X-XZ^{2}\right)}$

   isomorph ist.

2. Bestimme die irreduziblen Komponenten von

   ${}V{\left(X-XZ^{2}\right)}\subseteq K^{2}\,.$

3. Bestimme die singulären Punkte von ${}V{\left(X-XZ^{2}\right)}$.

Aufgabe

Bestimme die irreduziblen Komponenten von

${}V{\left(XY-Z^{3},X^{2}Z-Y^{2}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{3}}\,$

Aufgabe

Betrachte das Ideal

${}{\mathfrak {a}}={\left(U^{5}-V^{3},U^{11}-W^{3},V^{11}-W^{5}\right)}\subseteq K[U,V,W]\,$

und das zugehörige Nullstellengebilde ${}Z=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. Zeige, dass ${}W-U^{2}V$ zum Radikal von ${}{\mathfrak {a}}$ gehört. Zeige damit, dass ${}Z$ isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.

Aufgabe

Zeige, dass in ${}K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^{2}-Y^{3})$ jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.

Aufgabe

Wir betrachten die beiden Abbildungen

$(s,t)\longmapsto (s^{2},t^{2},st)=(x,y,z){\text{ und }}(s,t)\longmapsto (s,st^{2},st)=(x,y,z).$

Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung ${}F$ erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach ${}V(F)$). Welche Abbildung liefert eine „bessere“ Beschreibung von ${}V(F)$?

Aufgabe

Zeige, dass die Nullstellenmenge

${}V(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\subseteq {\mathbb {K} }^{6}\,$

wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und

${}V(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\subseteq K^{6}\,.$

1. Zeige, dass der Durchschnitt ${}V\cap L$ mit dreidimensionalen Untervektorräumen ${}L\subset K^{6}$ nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht.
2. Zeige, dass es zweidimensionale Untervektorräume ${}L\subset K^{6}$ derart gibt, dass der Durchschnitt ${}V\cap L$ nur aus endlich vielen Punkten besteht.

Aufgabe

Zeige, dass der ${}K$- Algebrahomomorphismus ${}K[X,Y,Z,U,V,W]\rightarrow K[X,Y,Z,T]$ mit

$X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,Z\mapsto Z,\,U\mapsto XT,\,V\mapsto YT,\,W\mapsto ZT,$

das Ideal ${}(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)$ zum Kern gehört. Zeige, dass der induzierte Ringhomomorphismus

${\left(K[X,Y,Z,U,V,W]/(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\right)}_{Z}\longrightarrow K[X,Y,Z,T]_{Z}$

ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Ideal

${}(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\subseteq K[X,Y,Z,U,V,W]\,$

ein Primideal ist.

Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel 5.1 beschriebene Abbildung

${\left(K^{\times }\right)}^{n-1}\longrightarrow V{\left(X_{1}\cdots X_{n}-1\right)},\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1},\,{\frac {1}{x_{1}\cdots x_{n-1}}}\right),$

ein Gruppenisomorphismus (bezüglich der multiplikativen Strukturen) ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$ mit zugehöriger Nenneraufnahme ${}R_{f}$. Beweise die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R_{f}\cong R[T]/(Tf-1)\,.$