Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 6

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Monoidhomomorphismus zwischen kommutativen Monoiden und sei die Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf ${}M$ durch ${}\mu \sim \nu$, falls ${}\varphi (\mu )=\varphi (\nu )$ ist, definiert. Zeige, dass ${}\sim$ mit der Verknüpfung verträglich ist.

Aufgabe *

Es sei ${}(M,+,0)$ eine kommutative Gruppe und ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation auf ${}M$. Zeige, dass ${}\sim$ genau dann mit der Verknüpfung verträglich ist, wenn es eine Untergruppe ${}H\subseteq M$ derart gibt, dass ${}\mu \sim \nu$ genau dann gilt, wenn ${}\mu -\nu \in H$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine Relation auf einem kommutativen Monoid ${}M$. Zeige, dass es eine kleinste, mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf ${}M$ gibt, die ${}R$ umfasst.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die von einer einzigen Relation ${}\alpha \sim \beta$ erzeugte mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf ${}M$ folgendermaßen gegeben ist: Es ist ${}x\sim y$ genau dann, wenn es eine Kette

$x_{1}=x,\ldots ,x_{n}=y$

gibt, wobei es für jedes ${}i$ ein ${}r\in \mathbb {N}$ und ein ${}\gamma \in M$ mit ${}x_{i}=r\alpha +\gamma$ und ${}x_{i+1}=r\beta +\gamma$ (oder umgekehrt) ist.

Aufgabe

Es sei ${}\sim$ eine mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf einem kommutativen Monoid. Zeige, dass es auf der Quotientenmenge ${}M/\sim$ eine eindeutig bestimmte Verknüpfung derart gibt, dass die kanonische Projektion ${}M\rightarrow M/\sim$ ein Monoidhomomorphismus ist.

Aufgabe

Finde eine Realisierung des Monoids ${}\mathbb {N} ^{2}/2e\sim 4f$ als Untermonoid von ${}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)$.

Aufgabe

Es seien ${}M\subseteq N$ kommutative Monoide. Zeige, dass durch

${}{\tilde {M}}={\left\{n\in N\mid {\text{es gibt }}k\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}kn\in M\right\}}\,$

ein Untermonoid von ${}N$ gegeben ist, das ${}M$ umfasst.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines Untermonoids ${}M\subseteq \mathbb {N} ^{2}$, das nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe

Berechne

${\left(4T^{(-1,3)}-6T^{(-2,5)}+5T^{(0,-2)}+3T^{(-1,1)}\right)}\cdot {\left(-7T^{(1,0)}+8T^{(4,5)}-4T^{(-3,5)}+6T^{(3,-1)}\right)}$

im Monoidring ${}K[\mathbb {Z} ^{2}]$.

Aufgabe

Berechne

${\left(4T^{0}-9T^{1}+9T^{2}+7T^{3}-4T^{4}\right)}\cdot {\left(4T^{0}-T^{1}+5T^{2}+7T^{3}-T^{4}\right)}$

im Monoidring ${}K[\mathbb {Z} /(5)]$.

Aufgabe

Zeige, dass die Multiplikation auf einem Monoidring zu einem kommutativen Monoid das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und es sei ${}e\in M$ ein Element mit ${}2e=e$. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}K[M]$ der zugehörige Monoidring. Zeige, dass ${}T^{e}$ ein idempotentes Element in ${}K[M]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe ${}G\neq 0$. Zeige, dass der Monoidring ${}{\mathbb {C} }[G]$ nicht zusammenhängend ist, obwohl es in der Gruppe außer ${}0$ kein Element ${}e$ gibt, das die Gleichung ${}2e=e$ erfüllt.

Aufgabe

Es sei

${}G=\mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /(n_{1})\times \mathbb {Z} /(n_{2})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\,$

eine endlich erzeugte kommutative Gruppe (mit ${}n_{1},\ldots ,n_{s}\in \mathbb {N} _{\geq 2}$) und sei ${}K$ ein Körper. Beschreibe den Gruppenring ${}K[G]$ durch Variablen und Relationen. Zeige, dass (unter gewissen Voraussetzungen an den Körper) das entsprechende Nullstellengebilde glatt ist.

Aufgabe

Zeige, dass man den Koordinatenring zum Standardkegel ${}V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ über ${}{\mathbb {C} }$ als einen Monoidring realisieren kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Finde ein kommutatives Monoid ${}M$ derart, dass eine Isomorphie

${}K[M]\cong K[X,Y,U,V]/(UX-VY)\,$

vorliegt.

Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und ${}K$ ein Körper. Es sei ${}m\in M$ und ${}T^{m}\in K[M]$. Zeige, dass ${}m$ genau dann eine Einheit in ${}M$ ist, wenn ${}T^{m}$ eine Einheit in ${}K[M]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M,N$ kommutative Monoide. Zu einem Monoidhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ werde der zugehörige ${}R$- Algebrahomomorphismus

$R[M]\longrightarrow R[N]$

im Sinne von Korollar 6.8 mit ${}R[\varphi ]$ bezeichnet. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Zur Identität ${}\operatorname {Id} _{M}$ ist auch ${}R[\operatorname {Id} _{M}]$ die Identität.
2. Für eine Hintereinanderschaltung von Monoidhomomorphismen ist

   ${}R[\varphi \circ \psi ]=R[\varphi ]\circ R[\psi ]\,.$

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und ${}R$ ein kommutativer Ring. Charakterisiere, für welche Teilmengen ${}I\subseteq M$ die Teilmenge

${}R[I]=\bigoplus _{m\in I}T^{m}\subseteq R[M]\,$

ein Ideal in ${}R[M]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Beweise die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R[\mathbb {Z} ^{n}]\cong R[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{1}\cdots X_{n}}\,$

mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und sei ${}f\in M$. Wir betrachten die Menge

${}M_{f}={\left\{m-nf\mid m\in M,\,n\in \mathbb {N} \right\}}/\sim \,,$

wobei die Relation

${}m-nf\sim m'-n'f\,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}k\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass

${}m+n'f+kf=m'+nf+kf\,$

in ${}M$ gilt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Definiere auf ${}M_{f}$ eine Monoidstruktur.
3. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}T^{f}\in R[M]$ das Monom zu ${}f$ im Monoidring. Zeige

   ${}R[M_{f}]\cong R[M]_{T^{f}}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}M\subseteq N$ endlich erzeugte kommutative Monoide. Zeige, dass für einen Körper ${}K$ der Ringhomomorphismus ${}K[M]\subseteq K[N]$ genau dann endlich ist, wenn es zu jedem ${}n\in N$ ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}kn\in M$ gibt.

Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind.

Aufgabe

Berechne in ${}R=\mathbb {R} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Produkt

${\left(X^{2}+4X^{3/2}-5X+X^{1/2}\right)}{\left(2X^{3/2}+4X-7X^{1/2}\right)}.$

Aufgabe

Zeige, dass man jedes Element ${}F\in R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ (${}K$ ein Körper) als ein Polynom in ${}X^{1/b}$ mit einem ${}b\in \mathbb {N} _{+}$ schreiben kann, dass es also ein ${}P\in K[Y]$ derart gibt, dass ${}F=P(X^{1/b})$ gilt. Welches Polynom kann man bei

${}F=X^{1/2}+X^{1/3}+X^{1/5}\,$

nehmen?

Aufgabe

Zeige, dass in ${}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Element ${}X$ keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass in ${}R=\mathbb {R} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Element ${}X^{2}+1$ nicht irreduzibel ist.

Aufgabe

Zeige, dass es in ${}R={\mathbb {C} }[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ keine irreduziblen Elemente gibt.

Aufgabe *

Bestimme sämtliche Teiler von ${}X$ im Ring ${}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$, wobei ${}K$ ein Körper ist.

Aufgabe *

Bestimme die Einheiten im Ring ${}R=K[\mathbb {Q} ]$, wobei ${}K$ ein Körper ist.

Die folgenden Aufgaben mit dem ${}K$-Spektrum eines kommutativen Monoids ${}M$, also der Menge aller Monoidhomomorphismen von ${}M$ nach ${}K$ (mit der multiplikativen Struktur).

Aufgabe

Wir betrachten das kommutative Monoid ${}M$, das durch die drei Erzeuger ${}e,f,g$ und die einzige Relation ${}e+f=5g$ gegeben ist. Bestimme das ${}K$- Spektrum zu ${}M$ für verschiedene Körper ${}K$.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein endliches kommutatives Monoid. Zeige, dass das ${}K$- Spektrum zu ${}M$ auch endlich ist.

Aufgabe

Betrachte den Monoidhomomorphismus

$\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,e_{1}\longmapsto 1,\,e_{2}\longmapsto -1.$

Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper ${}K$) und den zugehörigen ${}K$-Spektren.

Aufgabe

Wir betrachten Monoide der Form ${}M=(\mathbb {Z} /(m),+)$. Beschreibe ${}K-\operatorname {Spek} \,(K[M])$ allgemein sowie für die Körper ${}K=\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(5)$. Finde die idempotenten Elemente von ${}\mathbb {C} [\mathbb {Z} /(3)]$.

Aufgabe

Diskutiere Beispiel 5.6 im Kontext von Monoidringen.

Aufgabe

Es seien ${}M,N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit den ${}K$-Spektren ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,K)$ und ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[N]\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(N,K)$. Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus ${}\varphi :M\rightarrow N$ die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei ${}M=(\mathbb {Q} ,+)$ die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme ${}\mathbb {Q} \!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\mathbb {Q} [M]\right)}$. Wie sieht es aus, wenn man ${}\mathbb {Q}$ durch ${}\mathbb {R}$ ersetzt?

Aufgabe

Wir betrachten die kommutativen Monoide ${}M=\mathbb {N} ^{r}$ und ${}N={\mathbb {N} }^{s}$. Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von ${}M$ nach ${}N$ eindeutig durch eine Matrix (mit ${}r$ Spalten und ${}s$ Zeilen) mit Einträgen aus ${}\mathbb {N}$ bestimmt ist.

Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine quadratische ${}r\times r$-Matrix mit Einträgen aus ${}\mathbb {N}$ mit der zugehörigen Monoidabbildung und der zugehörigen Spektrumsabbildung

$\varphi \colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)},$

wobei ${}K$ ein unendlicher Körper sei. Zeige, dass genau dann ${}\det(M)\neq 0$ ist, wenn ${}\varphi$ surjektiv auf eine offene Menge aus ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)}$ abbildet.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus ${}K-\operatorname {Spec} \,K[N]$, die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt ${}1\in K-\operatorname {Spek} \,(K[M])$  (das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung ${}M\mapsto 1$ entspricht) abgebildet werden, selbst die Struktur eines ${}K$-Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und sei ${}K$ ein Körper. In welcher Beziehung steht ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M\times N]\right)}$ zu ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ und ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[N]\right)}$?

Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun.

Aufgabe

Zeige, dass die Differenzengruppe zu einem kommutativen Monoid in der Tat eine Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die zugehörige Differenzengruppe ${}\Gamma =\Gamma (M)$ eine kommutative Gruppe ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem Monoidhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow G$

in eine Gruppe ${}G$ gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon \Gamma \longrightarrow G,$

der ${}\varphi$ fortsetzt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma =\Gamma (M)$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}M$ ist ein Monoid mit Kürzungsregel.
2. Die kanonische Abbildung ${}M\rightarrow \Gamma (M)$ ist injektiv.
3. ${}M$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.