Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Definitionsliste


Definition:Affiner Raum

Es sei ein Körper. Dann nennt man den affinen Raum über der Dimension .



Definition:Hyperfläche

Zu einem Polynom über einem Körper nennt man

die durch definierte (affin-algebraische) Hyperfläche.



Definition:Nullstellengebilde

Es sei ein Körper und sei , , eine Familie von Polynomen in Variablen. Dann nennt man

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit bezeichnet.



Definition:Affin-algebraische Mengen

Es sei ein Körper und sei der Polynomring in Variablen. Dann heißt eine Teilmenge im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie , , von Polynomen ist, wenn also gilt.



Definition:Zariski-Topologie

In einem affinen Raum versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.



Definition:Verschwindungsideal

Sei eine Teilmenge. Dann nennt man

das Verschwindungsideal zu . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Radikal

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls ist für ein , so ist bereits .



Definition:Primideal

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Primideal, wenn ist und wenn für mit folgt: oder .



Definition:Irreduzible affin-algebraische Menge

Eine affin-algebraische Menge heißt irreduzibel, wenn ist und es keine Zerlegung mit affin-algebraischen Mengen gibt.



Definition:Irreduzible Komponente

Es sei eine affin-algebraische Menge. Eine affin-algebraische Teilmenge heißt eine irreduzible Komponente von , wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge gibt.



Definition:Koordinatenring

Zu einer affin-algebraischen Menge mit Verschwindungsideal nennt man den Koordinatenring von .



Definition:Simplizialer Komplex

Unter einem simplizialen Komplex auf einer endlichen Menge versteht man eine Ansammlung von Teilmengen von , die die Eigenschaft erfüllen, dass für und auch gilt.



Definition:Achsenraumkonfiguration

Zu einem simplizialen Komplex auf der Menge und einem Körper nennt man

die zu gehörende Achsenraumkonfiguration über .



Definition:Facette

Eine Seite eines simplizialen Komplexes heißt Facette, wenn sie maximal (bezüglicher der Inklusion) unter den Seiten von ist.



Definition:Ungerichteter Graph

Ein ungerichteter Graph auf einer Menge (die die Eckpunktmenge des Graphen heißt) besteht aus einer gewissen Auswahl an zweielementigen Teilmengen (die die Kantenmenge des Graphen heißt) von .



Definition:Simplex

Der simpliziale Komplex auf einer Menge , der aus allen Teilmengen von besteht, heißt Simplex.



Definition:Geometrische Realisierung eines simplizialen Komplexes

Zu einem simplizialen Komplex auf nennt man

die geometrische Realisierung des simplizialen Komplexes.



Definition:Formale partielle Ableitung

Es sei ein Körper. Zu einem Polynom

und , , heißt das Polynom

die formale partielle Ableitung von nach .



Definition:Jacobi-Matrix

Es sei ein Körper und es seien Polynome. Es sei ein Punkt. Dann heißt die Matrix

die Jacobi-Matrix zu im Punkt .



Definition:Glatter Punkt

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge

Es sei ein Punkt von mit der Eigenschaft, dass im Punkt die Dimension besitze. Dann heißt ein glatter Punkt von , wenn der Rang der Matrix

im Punkt mindestens ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.



Definition:Tangentialräume an Fasern‎

Es sei ein Körper und eine polynomiale Abbildung mit dem Nullstellengebilde . Es sei ein Punkt. Dann nennt man

den Tangentialraum an die Faser in .



Definition:Isolierte Singularität

Ein singulärer Punkt auf einer Varietät heißt isoliert, wenn es eine offene Umgebung derart gibt, dass der einzige singuläre Punkt von ist.



Definition:Stanley-Reisner-Ring

Zu einem simplizialen Komplex auf und einem kommutativen Ring nennt man den Restklassenring

den Stanley-Reisner-Ring zu (über ).



Definition:Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.



Definition:Lokalisierung

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an die Lokalisierung von an . Man schreibt dafür . Es ist also



Definition:Lokaler Ring (Varietät)

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine affin-algebraische Teilmenge mit affinem Koordinatenring . Es sei ein Punkt mit zugehörigem maximalen Ideal . Dann nennt man die Lokalisierung den lokalen Ring von im Punkt . Er wird mit bezeichnet.



Definition:Mit Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation

Man sagt, dass eine Äquivalenzrelation auf einem kommutativen Monoid mit der Verknüpfung verträglich ist, wenn aus und stets für alle gilt.



Definition:Monoidring

Es sei ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring wie folgt konstruiert. Als - Modul ist

d.h. ist der freie Modul mit Basis , . Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

definiert und auf ganz distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element das neutrale Element der Multiplikation.



Definition:Wertiger Punkt (Monoid)

Zu einem kommutativen Monoid und einem kommutativen Ring nennt man einen Monoidhomomorphismus

auch einen -wertigen Punkt von .



Definition:Gruppenoperation

Es sei eine Gruppe und eine Menge. Eine Abbildung

heißt Gruppenoperation (von auf ), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.

  1. für alle .
  2. für alle und für alle .


Definition:Äquivalent (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Man nennt zwei Elemente

-äquivalent (oder äquivalent unter ), wenn es ein mit gibt.



Definition:Bahn (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Die Äquivalenzklassen auf zur - Äquivalenz nennt man die Bahnen der Operation.



Definition:Fixpunkt (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Ein Punkt heißt Fixpunkt der Operation, wenn ist für alle .



Definition:Bahnenraum

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Dann nennt man die Menge der Bahnen den Bahnenraum der Operation. Er wird mit

bezeichnet. Die Abbildung

wobei die Bahn durch bezeichnet, heißt Quotientenabbildung.



Definition:Invariantenring

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

als den Invariantenring (oder Fixring) von unter der Operation von .



Definition:Quotientensingularität

Es sei ein Körper und eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring (bzw. sein Spektrum) eine Quotientensingularität.



Definition:Spezielle Quotientensingularität

Es sei ein Körper und eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring (bzw. sein Spektrum) eine spezielle Quotientensingularität.



Definition:Graduierte Algebra

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative Gruppe. Eine - Algebra heißt -graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

mit - Untermoduln gibt derart, dass ist und für die Multiplikation auf die Beziehung

gilt.



Definition:Knoten

Unter einem Knoten versteht man eine topologische Einbettung der - Sphäre in den Raum



Definition:Knotenäquivalenz

Zwei Knoten und heißen äquivalent, wenn es eine stetige Abbildung

derart gibt, dass für jedes die Abbildung ein Homöomorphismus des ist, dass die Identität ist und dass

ist.



Definition:Trivialer Knoten

Ein Knoten , der zum Knoten

äquivalent ist, heißt trivial.



Definition:Torus

Die Produktmannigfaltigkeit heißt Torus.



Definition:Torusknoten

Ein Knoten, der auf einem Torus liegt, heißt Torusknoten.



Definition:Derivation

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra und ein - Modul. Dann heißt eine - lineare Abbildung

mit

für alle eine -Derivation (mit Werten in ).



Definition:Modul der Kähler-Differentiale

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Algebra. Der von allen Symbolen , , erzeugte - Modul, modulo den Identifizierungen

und

heißt Modul der Kähler-Differentiale von über . Er wird mit

bezeichnet.



Definition:Jacobiideal

Es sei ein Polynom . Man nennt

das Jacobiideal von .



Definition:Milnorzahl

Es sei ein Polynom , die zugehörige Hyperfläche und ein Punkt. Man nennt die - Dimension des Restklassenringes die Milnorzahl im Punkt .



Definition:Hesse-Matrix

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über , eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis , , von gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen , . Zu heißt dann die Matrix

die Hesse-Matrix zu im Punkt bezüglich der gegebenen Basis.



Definition:Nichtausgearteter kritischer Punkt

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über , eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis , , von gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen , . Ein kritischer Punkt heißt nichtausgeartet, wenn die Determinante der Hesse-Matrix

nicht ist.



Definition:Nichtausgearteter kritischer Punkt

Es sei ein Körper, ein Polynom und ein kritischer Punkt von . Dann heißt nichtausgeartet, wenn die Determinante der Matrix

ungleich ist.



Definition:Untergrad

Zu einem Polynom (über einem kommutativen Ring ) mit homogener Zerlegung nennt man den minimalen Grad mit der Untergrad von .



Definition:Graduierter Modul

Es sei ein kommutativer - graduierter Ring. Ein - Modul mit einer direkten Summenzerlegung

wobei die Moduln über sind und wobei die Skalarmultiplikation die Eigenschaft

für alle erfüllt, heißt -graduierter Modul über .



Definition:Homogener Homomorphismus

Es sei ein kommutativer - graduierter Ring und seien und graduierte Moduln über . Ein - Modulhomomorphismus

heißt homogen, wenn für alle gilt.



Definition:Verschobener Modul

Es sei ein kommutativer graduierter Ring und ein - graduierter Modul über . Zu versteht man unter den gleichen, aber mit der Graduierung

versehenen Modul. Man nennt ihn den um den Grad verschobenen Modul.



Definition:Hilbertfunktion

Es sei ein standard-graduierter Ring über einem Körper . Es sei ein - graduierter Modul über mit der Eigenschaft, dass die homogenen Stufen endlichdimensionale - Vektorräume sind. Dann nennt man die Funktion

die Hilbertfunktion zu .



Definition:Hilbertpolynom

Es sei ein standard-graduierter Ring über einem Körper und sei ein endlicher erzeugter - graduierter Modul über . Dann nennt man das eindeutig bestimmte Polynom

mit für das Hilbertpolynom zu .



Definition:Polynomialer Typ

Eine Funktion heißt von polynomialen Typ, wenn es ein Polynom und ein mit für alle gibt.



Definition:Multiplizität

Es sei ein standard-graduierter Ring über einem Körper und sei ein endlicher erzeugter - graduierter Modul über . Das Hilbertpolynom zu habe die Form

mit . Dann nennt man

die Multiplizität von .



Definition:Assoziierter graduierer Ring

Zu einem Ideal in einem kommutativen Ring nennt man die direkte Summe von - Moduln

mit der durch gegebenen Multiplikation den assoziierten graduierten Ring zu .



Definition:Assoziierter graduierter Modul

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring und ein - Modul. Dann nennt man die direkte Summe

den assoziierten graduierten Modul zu .



Definition:Hilbert-Samuel-Multiplizität

Es sei ein noetherscher lokaler Ring und ein endlich erzeugter - Modul. Dann nennt man die Multiplizität des assoziierten graduierten Moduls die Hilbert-Samuel-Multiplizität von .



Definition:Primidealkette der Länge

Es sei ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

nennt man Primidealkette der Länge (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Dimension (Primideal)

Es sei ein kommutativer Ring und ein Primideal. Unter der Dimension von versteht man das Supremum der Länge von Primidealketten



Definition:Höhe (Primideal)

Es sei ein kommutativer Ring und ein Primideal. Unter der Höhe von versteht man das Supremum der Länge von Primidealketten



Definition:Krulldimension (Modul)

Zu einem - Modul versteht man unter der Krulldimension von die Krulldimension von .



Definition:Produkt von affin-algebraischen Mengen

Zu affin-algebraischen Mengen und nennt man

mit der induzierten Zariski-Topologie des das Produkt der beiden affin-algebraischen Mengen.



Definition:Einbettungsdimension

Es sei ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal . Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für die Einbettungsdimension von , geschrieben



Definition:Regulärer lokaler Ring

Ein noetherscher lokaler Ring der Dimension heißt regulär, wenn es Elemente gibt, die das maximale Ideal erzeugen.



Definition:Kettenkomplex

Es sei ein kommutativer Ring. Ein Kettenkomplex (oder einfach Komplex) ist eine Folge , , von - Moduln zusammen mit einer Folge von Modulhomomorphismen

mit der Eigenschaft

für alle .



Definition:Exakter Komplex

Ein Kettenkomplex über einem kommutativen Ring heißt exakt an der Stelle , wenn

gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.



Definition:Flacher Modul

Es sei ein kommutativer Ring. Ein - Modul heißt flach, wenn die Tensorierung mit die Exaktheit von beliebigen Sequenzen erhält.



Definition:Projektiver Modul

Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Der Modul heißt projektiv, wenn es zu jedem surjektiven - Modulhomomorphismus

und jedem Modulhomomorphismus

einen Modulhomomorphismus

mit

gibt.



Definition:Lokal freier Modul

Ein - Modul über einem kommutativen Ring heißt lokal frei, wenn für jedes Primideal von die Lokalisierung ein freier -Modul ist.



Definition:Freie Auflösung

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Eine freie Auflösung ist ein (linksseitig unendlicher) exakter Komplex

wobei die freie endlich erzeugte -Moduln sind.



Definition:Minimale freie Auflösung

Eine freie Auflösung

eines - Moduls heißt minimal, wenn in jedem Schritt die Abbildung

durch ein Erzeugendensystem von

von minimaler Anzahl gegeben ist.



Definition:Projektive Dimension

Es sei ein noetherscher lokaler Ring und ein endlich erzeugter - Modul. Man sagt, dass eine endliche projektive Dimension besitzt, wenn es eine freie Auflösung

mit für gibt. In diesem Fall nennt man das Minimum der mit für alle freie Auflösungen die projektive Dimension von .



Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.



Definition:Rechtsäquivalenz

Es seien und holomorphe Funktionen mit offen, mit und . Dann heißen rechtsäquivalent (im Nullpunkt), wenn es offene Teilmengen und und eine biholomorphe Abbildung

mit

gibt.



Definition:Entfaltung

Zu einer holomorphen Funktion , offen, nennt man eine holomorphe Funktion , offen, mit eine Entfaltung von .



Definition:Standardentfaltung

Es sei , offen, eine holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularität im Nullpunkt . Es seien

holomorphe Funktionen, deren Restklassen im Restklassenraum

eine Basis bilden. Dann nennt man die holomorphe Abbildung

(wobei ein gemeinsamer Definitionsbereich der sei) die Standardentfaltung von .



Definition:Endlich bestimmter Funktionskeim

Eine holomorphe Funktion , offen, heißt -bestimmt, wenn jede holomorphe Funktion mit

bereits zu rechtsäquivalent ist.



Definition:Einfache Singularität

Es sei , offen, eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass im Nullpunkt eine einfache Singularität besitzt, wenn es eine endliche Liste von holomorphen Funktionen (die ebenfalls auf offenen Mengen des definiert sind) derart gibt, dass in jeder Entfaltung

von mit offen und zusammenhängend und jede deformierte Funktion mit aus einer hinreichend kleinen offenen Umgebung rechtsäquivalent zu einem ist.