Kurs:Statistik für Anwender/Exponentialverteilte Zufallsvariablen
Exponentialverteilte ZV
BearbeitenDefinition exponentialverteilte ZV
BearbeitenSei gegeben.
Eine ZV mit der W-Dichte
heißt exponentialverteilt zum Parameter .
Verteilungsfunktion exponentialverteilte ZV
BearbeitenFür die Verteilungsfunktion von gilt dann:
Beispiel exponentialverteilte ZV
BearbeitenBeispiel exponentialverteilte ZV interaktiv
BearbeitenInteraktive Shiny-App zur Exponentialverteilung:
Download und Link
Wahrscheinlichkeiten exponentialverteilte ZV
BearbeitenFür eine zum Parameter exponentialverteilte ZV gilt:
Weiterhin gilt für beliebige Zahlen mit :
Erwartungswert und Varianz exponentialverteilte ZV
BearbeitenFür eine zum Parameter exponentialverteilte ZV gilt:
Praktische Anwendung exponentialverteilte ZV
BearbeitenExponentialverteilte ZV sind als Modell geeignet, wenn eine ZV die Wartezeit auf ein bestimmtes Ereignis beschreibt, und man annimmt, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignis in einem festgelegten (zukünftigen) Zeitraum nicht ändert, wenn das Ereignis eine Zeitlang nicht eingetreten ist.
Genauer: Für exponentialverteilte ZV gilt: (für )
Der Parameter gibt dabei die Häufigkeitsrate (in der Einheit ) an, mit der das Ereignis eintritt, man nennt zum Beispiel Ausfallrate, wenn das betreffende Ereignis, der Ausfall eines Objekts ist.
Beispiel Anwendung exponentialverteilte ZV
Bearbeiten’Lebensdauer’ von Bauteilen, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden
Lebensdauer von Tieren, wenn Alterungserscheinungen vernachlässigt werden
’Lebensdauer’ von Atomen bei radioaktiven Zerfall
Zeitspanne zwischen zwei Verkehrsunfällen (an einem bestimmten Ort)
Beispiel I
BearbeitenFür eine zum Parameter exponentialverteilte ZV gilt:
Außerdem ist und .
Beispiel II
BearbeitenFür eine zum Parameter exponentialverteilte ZV gilt:
Außerdem ist und .
Exponentialverteilte ZV in R
BearbeitenFür eine zum Parameter exponentialverteilte ZV berechnet man in R:
- die Funktionswerte der W-Dichte von durch:
- die Funktionswerte der VF von durch:
- die Wahrscheinlichkeit für durch:
Aufgabe
BearbeitenSie betreiben eine Wildtierkamera und Sie wissen, dass die Wartezeit , bis die Kamera ein Foto macht, als exponentialverteilt angenommen werden kann und die durchschnittliche Wartezeit Stunden beträgt.
- Wie groß ist die Standardabweichung der Wartezeit?
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit warten Sie höchstens / mindestens Stunden ?
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit warten Sie exakt Stunden und Minuten?
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit warten Sie zwischen und Stunden?
Punktschätzung für den Parameter
BearbeitenSei eine exponentialverteilte ZV, für die der Parameter unbekannt ist.
Basierend auf einer Stichprobe ist folgende Punktschätzung sinnvoll:
- wird geschätzt durch:
Intervallschätzung für den Parameter
BearbeitenSei eine exponentialverteilte ZV, für die unbekannt ist.
Bestimmung des arithmetischen Mittels
BearbeitenBasierend auf einer Stichprobe berechnet man zunächst
Bestimmung der Intervallgrenzen
BearbeitenDaraus ausgehend kann man nun wie folgt eine Intervallschätzung für zu einem vorgegebenen Konfidenzniveau berechnen:
Sind und die Zahlen mit
so erhält man eine Intervallschätzung für durch:
Konfidenzniveau
BearbeitenEs ist bewiesen, dass diese Methode zur Berechnung einer Intervallschätzung für das vorgegebene Konfidenzniveau einhält, das heißt unabhängig vom wahren Wert von ist vor der Erhebung der Daten garantiert:
Anmerkungen
Bearbeiten- Hier gilt sogar:
- Man beachte, dass dabei die Intervallgrenzen und bzw. vom Zufall abhängen (denn für ihre Berechnung werden die Daten verwendet). Andererseits ist zwar unbekannt, aber fest und hängt daher nicht vom Zufall ab. Nachdem man das Konfidenzintervall berechnet hat, ist die Aussage daher entweder wahr oder falsch, man kann ihr aber keine Wahrscheinlichkeit mehr zuweisen.
Beispiel 1.1
Bearbeiten An einem Verkehrsknotenpunkt passieren viele Unfälle. Die ZV beschreibt die Zeit (in Tagen), die dort zwischen zwei Unfällen liegt. Da man davon ausgehen kann, dass zukünftige Unfälle weder wahrscheinlicher noch unwahrscheinlicher werden, wenn eine Zeitlang kein Unfall passiert ist, kann man als exponentialverteilt annehmen. Es wird eine Stichprobe für der Länge erhoben, dabei erhält man die folgenden Daten:
Beispiel 1.2
BearbeitenDaraus berechnet man:
Wir berechnen nun eine Intervallschätzung für zum Konfidenzniveau :
Daraus berechnet man nun:
Aufgabe 1.1
BearbeitenAn einer Kreuzung wird mehrfach die Zeit zwischen zwei Unfällen festgestellt. Es ergeben sich die folgenden Daten (gemessen in Tagen):
Wir nehmen an, dass die Zeitspanne zwischen zwei Unfällen durch eine exponentialverteilte ZV mit unbekanntem Parameter beschrieben werden kann.
1. Berechnen Sie eine Punktschätzung für . Angenommen, die eben berechnete Punktschätzung entspricht dem wahren Wert von . Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Unfall innerhalb von 10 Tagen passiert?
Aufgabe 1.2
Bearbeiten2. Berechnen Sie eine Intervallschätzung für den unbekannten Parameter der Exponentialverteilung zum Konfidenzniveau . Angenommen, diese Intervallschätzung ist korrekt. Innerhalb welcher Grenzen liegt dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der nächste Unfall innerhalb von 10 Tagen passiert.
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