Kurs:Statistik für Anwender/Exponentialverteilte Zufallsvariablen

Exponentialverteilte ZV

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Definition exponentialverteilte ZV

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Sei   gegeben.

Eine ZV   mit der W-Dichte  
heißt exponentialverteilt zum Parameter  .

Verteilungsfunktion exponentialverteilte ZV

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Für die Verteilungsfunktion   von   gilt dann:  

Beispiel exponentialverteilte ZV

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Beispiel exponentialverteilte ZV interaktiv

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Interaktive Shiny-App zur Exponentialverteilung:
Download und Link

Wahrscheinlichkeiten exponentialverteilte ZV

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Für eine zum Parameter   exponentialverteilte ZV   gilt:  
Weiterhin gilt für beliebige Zahlen   mit  :    

Erwartungswert und Varianz exponentialverteilte ZV

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Für eine zum Parameter   exponentialverteilte ZV   gilt:  

Praktische Anwendung exponentialverteilte ZV

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Exponentialverteilte ZV sind als Modell geeignet, wenn eine ZV   die Wartezeit auf ein bestimmtes Ereignis beschreibt, und man annimmt, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignis in einem festgelegten (zukünftigen) Zeitraum nicht ändert, wenn das Ereignis eine Zeitlang nicht eingetreten ist.
Genauer: Für exponentialverteilte ZV gilt:   (für  )
Der Parameter   gibt dabei die Häufigkeitsrate (in der Einheit  ) an, mit der das Ereignis eintritt, man nennt   zum Beispiel Ausfallrate, wenn das betreffende Ereignis, der Ausfall eines Objekts ist.

Beispiel Anwendung exponentialverteilte ZV

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  • ’Lebensdauer’ von Bauteilen, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden

  • Lebensdauer von Tieren, wenn Alterungserscheinungen vernachlässigt werden

  • ’Lebensdauer’ von Atomen bei radioaktiven Zerfall

  • Zeitspanne zwischen zwei Verkehrsunfällen (an einem bestimmten Ort)

Beispiel I

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Für eine zum Parameter   exponentialverteilte ZV   gilt:
 
 
Außerdem ist   und  .

Beispiel II

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Für eine zum Parameter   exponentialverteilte ZV   gilt:
 
Außerdem ist   und  .

Exponentialverteilte ZV in R

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Für eine zum Parameter   exponentialverteilte ZV   berechnet man in R:

  • die Funktionswerte der W-Dichte von   durch:  
  • die Funktionswerte der VF von   durch:  
  • die Wahrscheinlichkeit für   durch:  

Sie betreiben eine Wildtierkamera und Sie wissen, dass die Wartezeit  , bis die Kamera ein Foto macht, als exponentialverteilt angenommen werden kann und die durchschnittliche Wartezeit   Stunden beträgt.

  1. Wie groß ist die Standardabweichung der Wartezeit?
  2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit warten Sie höchstens / mindestens   Stunden ?
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit warten Sie exakt   Stunden und   Minuten?
  4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit warten Sie zwischen   und   Stunden?

Punktschätzung für den Parameter

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Sei   eine exponentialverteilte ZV, für die der Parameter   unbekannt ist.
Basierend auf einer Stichprobe   ist folgende Punktschätzung sinnvoll:

  •   wird geschätzt durch:  

Intervallschätzung für den Parameter

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Sei   eine exponentialverteilte ZV, für die   unbekannt ist.

Bestimmung des arithmetischen Mittels

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Basierend auf einer Stichprobe   berechnet man zunächst
 

Bestimmung der Intervallgrenzen

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Daraus ausgehend kann man nun wie folgt eine Intervallschätzung für   zu einem vorgegebenen Konfidenzniveau   berechnen:

Sind   und   die Zahlen mit
 
so erhält man eine Intervallschätzung   für   durch:  

Konfidenzniveau

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Es ist bewiesen, dass diese Methode zur Berechnung einer Intervallschätzung für   das vorgegebene Konfidenzniveau   einhält, das heißt unabhängig vom wahren Wert von   ist vor der Erhebung der Daten garantiert:
 

Anmerkungen

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  • Hier gilt sogar:  
  • Man beachte, dass dabei die Intervallgrenzen   und   bzw. vom Zufall abhängen (denn für ihre Berechnung werden die Daten   verwendet). Andererseits ist   zwar unbekannt, aber fest und hängt daher nicht vom Zufall ab. Nachdem man das Konfidenzintervall berechnet hat, ist die Aussage   daher entweder wahr oder falsch, man kann ihr aber keine Wahrscheinlichkeit mehr zuweisen.

Beispiel 1.1

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An einem Verkehrsknotenpunkt passieren viele Unfälle. Die ZV   beschreibt die Zeit (in Tagen), die dort zwischen zwei Unfällen liegt. Da man davon ausgehen kann, dass zukünftige Unfälle weder wahrscheinlicher noch unwahrscheinlicher werden, wenn eine Zeitlang kein Unfall passiert ist, kann man   als exponentialverteilt annehmen. Es wird eine Stichprobe für   der Länge   erhoben, dabei erhält man die folgenden Daten:  

Beispiel 1.2

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Daraus berechnet man:  
Wir berechnen nun eine Intervallschätzung für   zum Konfidenzniveau  :
Daraus berechnet man nun:
 

Aufgabe 1.1

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An einer Kreuzung wird mehrfach die Zeit zwischen zwei Unfällen festgestellt. Es ergeben sich die folgenden Daten (gemessen in Tagen):  
Wir nehmen an, dass die Zeitspanne zwischen zwei Unfällen durch eine exponentialverteilte ZV   mit unbekanntem Parameter   beschrieben werden kann.

1. Berechnen Sie eine Punktschätzung für  . Angenommen, die eben berechnete Punktschätzung entspricht dem wahren Wert von  . Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Unfall innerhalb von 10 Tagen passiert?

Aufgabe 1.2

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2. Berechnen Sie eine Intervallschätzung für den unbekannten Parameter   der Exponentialverteilung zum Konfidenzniveau  . Angenommen, diese Intervallschätzung ist korrekt. Innerhalb welcher Grenzen liegt dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der nächste Unfall innerhalb von 10 Tagen passiert.

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