Kurs:Statistik für Anwender/Gleichverteilte Zufallsvariablen
Gleichverteilte ZV Bearbeiten
Seien mit gegeben.
Definition gleichverteilte Zufallsvariable Bearbeiten
Eine ZV mit der W-Dichte
heißt gleichverteilt auf dem Intervall .
Verteilungsfunktion gleichverteilte Zufallsvariable Bearbeiten
Für die Verteilungsfunktion von gilt dann:
Beispiel gleichverteilte Zufallsvariable Bearbeiten
Beispiel gleichverteilte Zufallsvariable interaktiv Bearbeiten
Interaktive Shiny-App zur Gleichverteilung:
Download und Link
Wahrscheinlichkeit gleichverteilte Zufallsvariable Bearbeiten
Für eine auf dem Intervall gleichverteilte ZV gilt:
Weiterhin gilt für beliebige Zahlen mit :
Die Gleichverteilung kann also als Modell verwendet werden, wenn nur Werte in annehmen kann und mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle gleich großen Teilbereiche fällt.
Erwartungswert und Varianz gleichverteilte Zufallsvariable Bearbeiten
Für eine auf dem Intervall gleichverteilte ZV gilt:
Praktische Anwendung gleichverteilte Zufallsvariable Bearbeiten
In bestimmten Situationen ist es naheliegend, gleichverteilte ZV als Modell zu verwenden:
Eine ZV, die den Winkel (im Bogenmaß bzw. im Gradmaß) beschreibt, den der Zeiger eines Glücksrad mit einer festen Markierung einschließt, kann plausibel durch eine Gleichverteilung (auf bzw. auf ) beschrieben werden.
In einer Stadt fährt eine U-Bahn alle 5 Minuten. Die Wartezeit auf die Bahn (in Minuten) bei zufälligem Eintreffen am Bahnsteig kann plausibel durch eine auf gleichverteilte ZV beschrieben werden.
Beispiel I Bearbeiten
Für eine auf gleichverteilte ZV gilt
Außerdem ist und .
Beispiel II Bearbeiten
Für eine auf gleichverteilte ZV gilt:
Außerdem ist und .
Gleichverteilte Zufallsvariable in R Bearbeiten
Für eine auf dem Intervall -gleichverteilte ZV berechnet man in R:
- die Funktionswerte der W-Dichte von durch:
- die Funktionswerte der VF von durch:
- die Wahrscheinlichkeit für durch:
Aufgabe I Bearbeiten
Seien , mit . Betrachten Sie die Funktion
- Skizzieren Sie den Graphen von für verschiedene Werte von und (evtl. auch mit R).
- Zeigen Sie, dass eine W-Dichte ist.
- Überlegen Sie Beispiele für Zufallsexperimente, die durch eine ZV mit der W-Dichte beschrieben werden können.
- Wie sieht die Verteilungsfunktion einer solchen ZV aus? Geben Sie die Funktionsvorschrift an und skizzieren Sie die Funktion.
- Sei eine stetige ZV mit der W-Dichte für und . Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten , , , und .
Aufgabe II Bearbeiten
Gegeben sei die gleichverteilte ZV auf dem Intervall . Bestimmen Sie
- Erwartungswert
- Varainz
- Standardabweichung
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