Kurs:Statistik für Anwender/Gleichverteilte Zufallsvariablen

Gleichverteilte ZV

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Seien   mit   gegeben.

Definition gleichverteilte Zufallsvariable

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Eine ZV   mit der W-Dichte  
heißt gleichverteilt auf dem Intervall  .

Verteilungsfunktion gleichverteilte Zufallsvariable

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Für die Verteilungsfunktion   von   gilt dann:  

Beispiel gleichverteilte Zufallsvariable

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Beispiel gleichverteilte Zufallsvariable interaktiv

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Interaktive Shiny-App zur Gleichverteilung:
Download und Link

Wahrscheinlichkeit gleichverteilte Zufallsvariable

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Für eine auf dem Intervall   gleichverteilte ZV   gilt:  
Weiterhin gilt für beliebige Zahlen   mit  :
 
Die Gleichverteilung kann also als Modell verwendet werden, wenn   nur Werte in   annehmen kann und mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle gleich großen Teilbereiche fällt.

Erwartungswert und Varianz gleichverteilte Zufallsvariable

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Für eine auf dem Intervall  gleichverteilte ZV   gilt:  

Praktische Anwendung gleichverteilte Zufallsvariable

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In bestimmten Situationen ist es naheliegend, gleichverteilte ZV als Modell zu verwenden:

  • Eine ZV, die den Winkel (im Bogenmaß bzw. im Gradmaß) beschreibt, den der Zeiger eines Glücksrad mit einer festen Markierung einschließt, kann plausibel durch eine Gleichverteilung (auf   bzw. auf  ) beschrieben werden.

  • In einer Stadt fährt eine U-Bahn alle 5 Minuten. Die Wartezeit auf die Bahn (in Minuten) bei zufälligem Eintreffen am Bahnsteig kann plausibel durch eine auf   gleichverteilte ZV beschrieben werden.

Beispiel I

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Für eine auf   gleichverteilte ZV   gilt      
Außerdem ist   und  .

Beispiel II

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Für eine auf   gleichverteilte ZV gilt:    

Außerdem ist   und  .

Gleichverteilte Zufallsvariable in R

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Für eine auf dem Intervall  -gleichverteilte ZV   berechnet man in R:

  • die Funktionswerte der W-Dichte von   durch:  
  • die Funktionswerte der VF von   durch:  
  • die Wahrscheinlichkeit für   durch:  


Aufgabe I

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Seien  ,   mit  . Betrachten Sie die Funktion  

  1. Skizzieren Sie den Graphen von   für verschiedene Werte von   und   (evtl. auch mit R).
  2. Zeigen Sie, dass   eine W-Dichte ist.
  3. Überlegen Sie Beispiele für Zufallsexperimente, die durch eine ZV mit der W-Dichte   beschrieben werden können.
  4. Wie sieht die Verteilungsfunktion einer solchen ZV   aus? Geben Sie die Funktionsvorschrift an und skizzieren Sie die Funktion.
  5. Sei   eine stetige ZV mit der W-Dichte   für   und  . Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten  ,  ,  ,   und  .

Aufgabe II

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Gegeben sei die gleichverteilte ZV   auf dem Intervall  . Bestimmen Sie

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6. Erwartungswert  
  7. Varainz  
  8. Standardabweichung  

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