Kurs:Statistik für Anwender/Gleichverteilte Zufallsvariablen
Gleichverteilte ZV
BearbeitenSeien mit gegeben.
Definition gleichverteilte Zufallsvariable
BearbeitenEine ZV mit der W-Dichte
heißt gleichverteilt auf dem Intervall .
Verteilungsfunktion gleichverteilte Zufallsvariable
BearbeitenFür die Verteilungsfunktion von gilt dann:
Beispiel gleichverteilte Zufallsvariable
BearbeitenBeispiel gleichverteilte Zufallsvariable interaktiv
BearbeitenInteraktive Shiny-App zur Gleichverteilung:
Download und Link
Wahrscheinlichkeit gleichverteilte Zufallsvariable
BearbeitenFür eine auf dem Intervall gleichverteilte ZV gilt:
Weiterhin gilt für beliebige Zahlen mit :
Die Gleichverteilung kann also als Modell verwendet werden, wenn nur Werte in annehmen kann und mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle gleich großen Teilbereiche fällt.
Erwartungswert und Varianz gleichverteilte Zufallsvariable
BearbeitenFür eine auf dem Intervall gleichverteilte ZV gilt:
Praktische Anwendung gleichverteilte Zufallsvariable
BearbeitenIn bestimmten Situationen ist es naheliegend, gleichverteilte ZV als Modell zu verwenden:
Eine ZV, die den Winkel (im Bogenmaß bzw. im Gradmaß) beschreibt, den der Zeiger eines Glücksrad mit einer festen Markierung einschließt, kann plausibel durch eine Gleichverteilung (auf bzw. auf ) beschrieben werden.
In einer Stadt fährt eine U-Bahn alle 5 Minuten. Die Wartezeit auf die Bahn (in Minuten) bei zufälligem Eintreffen am Bahnsteig kann plausibel durch eine auf gleichverteilte ZV beschrieben werden.
Beispiel I
BearbeitenFür eine auf gleichverteilte ZV gilt
Außerdem ist und .
Beispiel II
BearbeitenFür eine auf gleichverteilte ZV gilt:
Außerdem ist und .
Gleichverteilte Zufallsvariable in R
BearbeitenFür eine auf dem Intervall -gleichverteilte ZV berechnet man in R:
- die Funktionswerte der W-Dichte von durch:
- die Funktionswerte der VF von durch:
- die Wahrscheinlichkeit für durch:
Aufgabe I
BearbeitenSeien , mit . Betrachten Sie die Funktion
- Skizzieren Sie den Graphen von für verschiedene Werte von und (evtl. auch mit R).
- Zeigen Sie, dass eine W-Dichte ist.
- Überlegen Sie Beispiele für Zufallsexperimente, die durch eine ZV mit der W-Dichte beschrieben werden können.
- Wie sieht die Verteilungsfunktion einer solchen ZV aus? Geben Sie die Funktionsvorschrift an und skizzieren Sie die Funktion.
- Sei eine stetige ZV mit der W-Dichte für und . Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten , , , und .
Aufgabe II
BearbeitenGegeben sei die gleichverteilte ZV auf dem Intervall . Bestimmen Sie
- Erwartungswert
- Varainz
- Standardabweichung
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