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Ist
f
:
R
→
[
0
,
∞
[
{\textstyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [}
F
[
a
,
b
]
{\textstyle F_{[a,b]}}
[
a
,
b
]
{\textstyle [a,b]}
f
{\textstyle f}
F
[
a
,
b
]
=
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F_{[a,b]}=\int \limits _{a}^{b}f(t)dt}
Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
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Normalerweise berechnet man Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung . Er besagt:
F
:
R
→
R
{\textstyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
{\textstyle f}
F
′
(
t
)
=
f
(
t
)
{\textstyle F^{\prime }(t)=f(t)}
t
∈
R
{\textstyle t\in \mathbb {R} }
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
=
[
F
(
t
)
]
a
b
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
.
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(t)dt=\left[F(t)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a).}
Ist
f
(
t
)
=
2
{\textstyle f(t)=2}
F
(
t
)
=
2
t
{\textstyle F(t)=2t}
f
{\textstyle f}
Also:
∫
3
7
2
d
t
=
8
{\textstyle \int \limits _{3}^{7}2\ dt=8}
Anmerkung: Fläche hätte auch als Rechtecksfläche berechnet werden können.
Ist
f
(
t
)
=
4
t
+
5
{\textstyle f(t)=4t+5}
F
(
t
)
=
2
t
2
+
5
t
{\textstyle F(t)=2t^{2}+5t}
f
{\textstyle f}
Also:
∫
0
3
(
4
t
+
5
)
d
t
=
33
{\textstyle \int \limits _{0}^{3}(4t+5)dt=33}
Anmerkung: Fläche hätte auch als Summe von Rechtecks- und Dreiecksfläche berechnet werden können.
Ist
f
(
t
)
=
t
2
−
1
2
t
+
1
{\textstyle f(t)=t^{2}-{\frac {1}{2}}t+1}
F
(
t
)
=
1
3
t
3
−
1
4
t
2
+
t
{\textstyle F(t)={\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{4}}t^{2}+t}
f
{\textstyle f}
∫
−
2
2
(
t
2
−
1
2
t
+
1
)
d
t
=
28
3
{\textstyle \int \limits _{-2}^{2}\left(t^{2}-{\frac {1}{2}}t+1\right)dt={\frac {28}{3}}}
Ist
f
(
t
)
=
2
⋅
exp
(
t
4
)
{\textstyle f(t)=2\cdot \exp \left({\frac {t}{4}}\right)}
F
(
t
)
=
8
⋅
exp
(
t
4
)
{\textstyle F(t)=8\cdot \exp \left({\frac {t}{4}}\right)}
f
{\textstyle f}
Also:
∫
−
4
12
(
2
⋅
exp
(
t
4
)
)
d
t
{\textstyle \int \limits _{-4}^{12}\left(2\cdot \exp \left({\frac {t}{4}}\right)\right)dt}
=
[
8
⋅
exp
(
t
4
)
]
−
4
12
{\textstyle =\left[8\cdot \exp \left({\frac {t}{4}}\right)\right]_{-4}^{12}}
=
8
⋅
exp
(
12
4
)
−
8
⋅
exp
(
−
4
4
)
{\textstyle =8\cdot \exp \left({\frac {12}{4}}\right)-8\cdot \exp \left({\frac {-4}{4}}\right)}
=
8
⋅
(
exp
(
3
)
−
exp
(
−
1
)
)
=
157.74
{\textstyle =8\cdot \left(\exp(3)-\exp(-1)\right)=157.74}
Bei der Berechnung von Integralen gelten die folgende Regeln:
∫
a
b
(
f
(
t
)
±
g
(
t
)
)
d
t
=
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
±
∫
a
b
g
(
t
)
d
t
{\textstyle \int \limits _{a}^{b}\left(f(t)\pm g(t)\right)dt=\int \limits _{a}^{b}f(t)dt\pm \int \limits _{a}^{b}g(t)dt}
∫
a
b
α
⋅
f
(
t
)
d
t
=
α
⋅
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
{\textstyle \int \limits _{a}^{b}\alpha \cdot f(t)dt=\alpha \cdot \int \limits _{a}^{b}f(t)dt\quad }
α
∈
R
{\textstyle \alpha \in \mathbb {R} }
∫
a
c
f
(
t
)
d
t
=
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
+
∫
b
c
f
(
t
)
d
t
{\textstyle \int \limits _{a}^{c}f(t)dt=\int \limits _{a}^{b}f(t)dt+\int \limits _{b}^{c}f(t)dt\quad }
a
<
b
<
c
{\textstyle a<b<c}
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Die letzte Regel ist vor allem dann wichtig, wenn Funktionen abschnittsweise definiert sind.
Für
f
:
R
→
R
,
f
(
t
)
=
{
0
,
falls
t
<
0
t
+
3
,
falls
0
≤
t
≤
4
2
+
20
t
,
falls
t
>
4
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}0&,&{\text{falls}}\ t<0\\t+3&,&{\text{falls}}\ 0\leq t\leq 4\\2+{\frac {20}{t}}&,&{\text{falls}}\ t>4\end{array}}\right.}
∫
−
2
1
f
(
t
)
d
t
=
∫
−
2
0
0
d
t
+
∫
0
1
(
t
+
3
)
d
t
=
[
0
]
−
2
0
+
[
1
2
t
2
+
3
t
]
0
1
{\displaystyle \int \limits _{-2}^{1}f(t)dt=\int \limits _{-2}^{0}0\ dt+\int \limits _{0}^{1}(t+3)dt=[0]_{-2}^{0}+\left[{\frac {1}{2}}t^{2}+3t\right]_{0}^{1}}
=
0
−
0
+
(
1
2
1
2
+
3
⋅
1
)
−
(
1
2
0
2
+
3
⋅
0
)
=
7
2
=
3.5
{\displaystyle =0-0\ +\ \left({\frac {1}{2}}1^{2}+3\cdot 1\right)-\left({\frac {1}{2}}0^{2}+3\cdot 0\right)={\frac {7}{2}}=3.5}
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und
∫
2
7
f
(
t
)
d
t
=
∫
2
4
(
t
+
3
)
d
t
+
∫
4
7
(
2
+
20
t
)
d
t
{\displaystyle \int \limits _{2}^{7}f(t)dt=\int \limits _{2}^{4}(t+3)dt+\int \limits _{4}^{7}\left(2+{\frac {20}{t}}\right)dt}
=
[
1
2
t
2
+
3
t
]
2
4
+
[
2
t
+
20
ln
(
t
)
]
4
7
{\displaystyle =\left[{\frac {1}{2}}t^{2}+3t\right]_{2}^{4}+\left[2t+20\ln(t)\right]_{4}^{7}}
=
(
1
2
4
2
+
3
⋅
4
)
−
(
1
2
2
2
+
3
⋅
2
)
{\displaystyle =\left({\frac {1}{2}}4^{2}+3\cdot 4\right)-\left({\frac {1}{2}}2^{2}+3\cdot 2\right)}
+
(
2
⋅
7
+
20
ln
(
7
)
)
−
(
2
⋅
4
+
20
ln
(
4
)
)
{\displaystyle \ +\ \left(2\cdot 7+20\ln(7)\right)-\left(2\cdot 4+20\ln(4)\right)}
=
29.192
{\displaystyle =29.192}
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Die Bestimmung einer Stammfunktion ist nicht immer einfach. Für viele Funktionen sind jedoch Stammfuntkionen bekannt. Außerdem gibt es einige weitere Methoden zur Bestimmung von Stammfunktionen bzw. zur Berechnung von Integralen (z.B. partielle Integration, Substitution). Wir wollen jedoch im Rahmen dieser Vorlesung nicht näher darauf eingehen.
Berechnen Sie die folgenden Integrale. Skizzieren (oder plotten) Sie jeweils auch den Graphen der integrierten Funktion und zeichnen Sie die Fläche ein, die durch das Integral berechnet wird:
∫
2
6
(
3
t
2
+
1
)
d
t
,
∫
0
2
π
(
2
sin
(
t
)
+
3
)
d
t
,
∫
−
1
0
exp
(
2
t
)
d
t
{\textstyle \int \limits _{2}^{6}(3t^{2}+1)dt,\quad \int \limits _{0}^{2\pi }\left(2\sin(t)+3\right)dt,\quad \int \limits _{-1}^{0}\exp(2t)dt}
∫
−
4
−
1
f
(
t
)
d
t
,
∫
−
1
3
f
(
t
)
d
t
,
∫
3
8
f
(
t
)
d
t
{\textstyle \int \limits _{-4}^{-1}f(t)dt,\quad \int \limits _{-1}^{3}f(t)dt,\quad \int \limits _{3}^{8}f(t)dt}
für
f
:
R
→
[
0
,
∞
[
,
f
(
t
)
=
{
1
,
falls
t
≤
−
2
2
t
+
5
,
falls
−
2
≤
t
≤
0
5
−
t
,
falls
0
≤
t
≤
4
t
−
1
,
falls
4
≤
t
.
{\textstyle {\text{für}}\quad f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{cccrcccl}1&,&{\text{falls}}&&&t&\leq &-2\\2t+5&,&{\text{falls}}&-2&\leq &t&\leq &0\\5-{\sqrt {t}}&,&{\text{falls}}&0&\leq &t&\leq &4\\t-1&,&{\text{falls}}&4&\leq &t&&\end{array}}\right..}
Für unsere Zwecke sind auch sogenannte uneigentliche Integrale von Bedeutung. Dabei handelt es sich um Integrale, bei denen die untere Grenze
−
∞
{\textstyle -\infty }
∞
{\textstyle \infty }
Ist
f
:
R
→
[
0
,
∞
[
{\textstyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [}
F
:
R
→
R
{\textstyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
∫
a
∞
f
(
t
)
d
t
=
[
F
(
t
)
]
a
∞
=
lim
t
→
∞
F
(
t
)
−
F
(
a
)
∫
−
∞
b
f
(
t
)
d
t
=
[
F
(
t
)
]
−
∞
b
=
F
(
b
)
−
lim
t
→
−
∞
F
(
t
)
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
d
t
=
[
F
(
t
)
]
−
∞
∞
=
lim
t
→
∞
F
(
t
)
−
lim
t
→
−
∞
F
(
t
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}\int \limits _{a}^{\infty }f(t)dt&=&\left[F(t)\right]_{a}^{\infty }&=&\lim \limits _{t\to \infty }F(t)&-&F(a)\\\int \limits _{-\infty }^{b}f(t)dt&=&\left[F(t)\right]_{-\infty }^{b}&=&F(b)&-&\lim \limits _{t\to -\infty }F(t)\\\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)dt&=&\left[F(t)\right]_{-\infty }^{\infty }&=&\lim \limits _{t\to \infty }F(t)&-&\lim \limits _{t\to -\infty }F(t)\end{array}}}
Man spricht auch dann von einem ’uneigentlichen Integral’, wenn die integrierte Funktion
f
{\textstyle f}
[
a
,
b
]
{\textstyle [a,b]}
Für
f
(
t
)
=
{
6
t
2
,
falls
t
>
1
0
,
falls
t
≤
1
{\textstyle f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {6}{t^{2}}}&,&{\text{falls}}\ t>1\\0&,&{\text{falls}}\ t\leq 1\end{array}}\right.}
∫
2
∞
f
(
t
)
d
t
=
[
−
6
t
]
2
∞
=
lim
t
→
∞
(
−
6
t
)
−
(
−
6
2
)
=
0
−
(
−
3
)
=
3
{\textstyle \int \limits _{2}^{\infty }f(t)dt=\left[-{\frac {6}{t}}\right]_{2}^{\infty }=\lim \limits _{t\to \infty }\left(-{\frac {6}{t}}\right)-\left(-{\frac {6}{2}}\right)=0-\left(-3\right)=3}
Für
f
(
t
)
=
{
6
t
,
falls
t
>
1
0
,
falls
t
≤
1
}
{\textstyle f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {6}{t}}&,&{\text{falls}}\ t>1\\0&,&{\text{falls}}\ t\leq 1\end{array}}\right\}}
∫
2
∞
f
(
t
)
d
t
=
[
6
ln
(
t
)
]
2
∞
=
lim
t
→
∞
(
6
ln
(
t
)
)
−
6
ln
(
2
)
=
∞
−
6
ln
(
2
)
=
∞
{\textstyle \int \limits _{2}^{\infty }f(t)dt=\left[6\ln(t)\right]_{2}^{\infty }=\lim \limits _{t\to \infty }\left(6\ln(t)\right)-6\ln(2)=\infty -6\ln(2)=\infty }
Für
f
(
t
)
=
1
1
+
t
2
{\textstyle f(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}}
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
d
t
=
[
arctan
(
t
)
]
−
∞
∞
{\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)dt=\left[\arctan(t)\right]_{-\infty }^{\infty }}
=
lim
t
→
∞
arctan
(
t
)
−
lim
t
→
−
∞
arctan
(
t
)
=
π
2
−
(
−
π
2
)
=
π
{\textstyle =\lim \limits _{t\to \infty }\arctan(t)-\lim \limits _{t\to -\infty }\arctan(t)={\frac {\pi }{2}}-\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)=\pi }
(Wir begründen an dieser Stelle nicht, dass
arctan
{\textstyle \arctan }
f
{\textstyle f}
Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale. Skizzieren (oder plotten) Sie jeweils auch den Graphen der integrierten Funktion und zeichnen Sie die Fläche ein, die durch das Integral berechnet wird:
∫
−
∞
−
1
f
(
t
)
d
t
,
∫
1
∞
f
(
t
)
d
t
{\textstyle \int \limits _{-\infty }^{-1}f(t)dt,\quad \int \limits _{1}^{\infty }f(t)dt\quad }
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
d
t
{\textstyle \quad \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)dt\quad }
f
(
t
)
=
{
1
t
3
,
falls
t
≤
−
1
1
,
falls
−
1
≤
t
≤
1
1
t
3
,
falls
1
≤
t
{\textstyle \quad f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {1}{t^{3}}}&,&{\text{falls}}\ t\leq -1\\1&,&{\text{falls}}\ -1\leq t\leq 1\\{\frac {1}{t^{3}}}&,&{\text{falls}}\ 1\leq t\end{array}}\right.}
∫
−
∞
−
1
exp
(
t
+
3
)
d
t
{\textstyle \int \limits _{-\infty }^{-1}\exp(t+3)dt\quad }
∫
2
∞
exp
(
t
+
3
)
d
t
{\textstyle \quad \int \limits _{2}^{\infty }\exp(t+3)dt}
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![{\textstyle F_{[a,b]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88c4933bb89f6d9eaaa68f9422b3b8e5f14982f)
![{\textstyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c780cbaafb5b1d4a6912aa65d2b0b1982097108)
![{\displaystyle F_{[a,b]}=\int \limits _{a}^{b}f(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe6443ba3bf78771e3d5046ccdff34f24ffb449)
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(t)dt=\left[F(t)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24ecc60695212bf25adedcc60c5f0d0851ce873)
![{\textstyle =\left[8\cdot \exp \left({\frac {t}{4}}\right)\right]_{-4}^{12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a0293764081d096cf9a0fd6b4a8ef0644c09da)
![{\displaystyle \int \limits _{-2}^{1}f(t)dt=\int \limits _{-2}^{0}0\ dt+\int \limits _{0}^{1}(t+3)dt=[0]_{-2}^{0}+\left[{\frac {1}{2}}t^{2}+3t\right]_{0}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152ce27c81e852640257a5467b65b4c7e9e81176)
![{\displaystyle =\left[{\frac {1}{2}}t^{2}+3t\right]_{2}^{4}+\left[2t+20\ln(t)\right]_{4}^{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584a04526f8814ed619477376e4fe8b134014807)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}\int \limits _{a}^{\infty }f(t)dt&=&\left[F(t)\right]_{a}^{\infty }&=&\lim \limits _{t\to \infty }F(t)&-&F(a)\\\int \limits _{-\infty }^{b}f(t)dt&=&\left[F(t)\right]_{-\infty }^{b}&=&F(b)&-&\lim \limits _{t\to -\infty }F(t)\\\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)dt&=&\left[F(t)\right]_{-\infty }^{\infty }&=&\lim \limits _{t\to \infty }F(t)&-&\lim \limits _{t\to -\infty }F(t)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611ea11ffd0923679dc96af4bfdfc146bdb9b016)
![{\textstyle \int \limits _{2}^{\infty }f(t)dt=\left[-{\frac {6}{t}}\right]_{2}^{\infty }=\lim \limits _{t\to \infty }\left(-{\frac {6}{t}}\right)-\left(-{\frac {6}{2}}\right)=0-\left(-3\right)=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9156e7e1afc3bd36d6d0be00ac127fd9ec768d1d)
![{\textstyle \int \limits _{2}^{\infty }f(t)dt=\left[6\ln(t)\right]_{2}^{\infty }=\lim \limits _{t\to \infty }\left(6\ln(t)\right)-6\ln(2)=\infty -6\ln(2)=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166378100403b6fbdcc6b77969db22a68cf4a4d7)
![{\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)dt=\left[\arctan(t)\right]_{-\infty }^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3063f154af3c3f1811b06452a8ca525b1d5ea49)
