In der Praxis ist die W-Dichte einer stetigen ZV
X
{\textstyle X}
X
{\textstyle X}
Informationen über
X
{\textstyle X}
Stichprobe von
n
{\textstyle n}
unabhängig und unter gleichen Bedingungen erhaltenen Realisationen
x
1
,
…
,
x
n
{\textstyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
X
{\textstyle X}
ZV
X
{\displaystyle X}
⟶
zufällig
{\displaystyle {\stackrel {\text{zufällig}}{\longrightarrow }}}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
⟶
methodisch
{\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\stackrel {\text{methodisch}}{\longrightarrow }}}
Bearbeiten
Sei
X
{\textstyle X}
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
V
(
X
)
{\textstyle V(X)}
X
{\textstyle X}
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
x
¯
=
1
n
⋅
∑
j
=
1
n
x
j
{\textstyle \quad {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}\quad }
(arithmetischer Mittelwert)
V
(
X
)
{\textstyle V(X)}
s
x
2
=
1
n
−
1
⋅
∑
j
=
1
n
(
x
j
−
x
¯
)
2
=
1
n
−
1
(
∑
j
=
1
n
x
j
2
−
1
n
(
∑
j
=
1
n
x
j
)
2
)
{\textstyle \quad {s_{x}}^{2}={\frac {1}{n-1}}\cdot \sum \limits _{j=1}^{n}\left(x_{j}-{\overline {x}}\right)^{2}={\frac {1}{n-1}}\left(\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}\right)^{2}\right)}
empirische Varianz oder korrigierte Stichprobenvarianz ) In R
x
¯
mit
{\textstyle \quad {\overline {x}}\ {\text{mit}}\ }
mean(x) und
s
x
2
mit
{\textstyle \quad {s_{x}}^{2}\ {\text{mit}}\ }
var(x) oder sd(x)^2
Diese beiden Schätzungen sind in jedem Fall erwartungstreu und konsistent :
Die Ergebnisse der Schätzungen (also
x
¯
{\textstyle {\overline {x}}}
s
x
2
{\textstyle {s_{x}}^{2}}
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
V
(
X
)
{\textstyle V(X)}
Präziser gesagt: Vor Erhebung der Stichprobe können
x
¯
=
^
M
n
{\textstyle {\overline {x}}\;{\hat {=}}\;M_{n}}
s
x
2
=
^
V
n
{\textstyle {s_{x}}^{2}\;{\hat {=}}\;V_{n}}
E
(
M
n
)
=
E
(
X
)
und
E
(
V
n
)
=
V
(
X
)
{\textstyle \quad E\left(M_{n}\right)=E(X)\ {\text{und}}\ E\left(V_{n}\right)=V(X)}
Ist
n
{\textstyle n}
n
sehr groß
⇒
{\displaystyle n\ {\text{sehr groß}}\quad \Rightarrow }
mit hoher Wahrscheinlichkeit ist
x
¯
≈
E
(
X
)
und
s
x
2
≈
V
(
X
)
{\displaystyle \quad {\text{mit hoher Wahrscheinlichkeit ist}}\ {\overline {x}}\approx E(X)\ {\text{und}}\ {s_{x}}^{2}\approx V(X)}
Präziser gesagt: Vor Erhebung der Stichprobe können
x
¯
=
^
M
n
{\textstyle {\overline {x}}\;{\hat {=}}\;M_{n}}
s
x
2
=
^
V
n
{\textstyle {s_{x}}^{2}\;{\hat {=}}\;V_{n}}
c
>
0
{\textstyle c>0}
P
(
E
(
X
)
−
c
≤
M
n
≤
E
(
X
)
+
c
)
⟶
n
→
∞
1
{\displaystyle P\left(E(X)-c\leq M_{n}\leq E(X)+c\right){\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}1}
P
(
V
(
X
)
−
c
≤
V
n
≤
V
(
X
)
+
c
)
⟶
n
→
∞
1
{\displaystyle P\left(V(X)-c\leq V_{n}\leq V(X)+c\right){\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}1}
Wir betrachten eine normalverteilte ZV mit
σ
X
=
15
{\textstyle \sigma _{X}=15}
E
(
X
)
=
μ
X
{\textstyle E(X)=\mu _{X}}
x
¯
=
^
M
n
{\textstyle {\overline {x}}\;{\hat {=}}\;M_{n}}
n
{\textstyle n}
μ
M
n
=
μ
X
{\textstyle \mu _{M_{n}}=\mu _{X}}
σ
M
n
=
σ
X
n
=
15
n
{\textstyle \sigma _{M_{n}}={\frac {\sigma _{X}}{\sqrt {n}}}={\frac {15}{\sqrt {n}}}}
Falls
n
=
20
{\textstyle n=20}
P
(
M
n
∈
[
μ
−
10
,
μ
+
10
]
)
=
0.9971
P
(
M
n
∈
[
μ
−
5
,
μ
+
5
]
)
=
0.8640
P
(
M
n
∈
[
μ
−
1
,
μ
+
1
]
)
=
0.2344
P
(
M
n
∈
[
μ
−
0.4
,
μ
+
0.4
]
)
=
0.0949
P
(
M
n
∈
[
μ
−
0.1
,
μ
+
0.1
]
)
=
0.0238
{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}P\left(M_{n}\in [\mu -10,\mu +10]\right)&=&0.9971\\P\left(M_{n}\in [\mu -5,\mu +5]\right)&=&0.8640\\P\left(M_{n}\in [\mu -1,\mu +1]\right)&=&0.2344\\P\left(M_{n}\in [\mu -0.4,\mu +0.4]\right)&=&0.0949\\P\left(M_{n}\in [\mu -0.1,\mu +0.1]\right)&=&0.0238\end{array}}}
Falls
n
=
150
{\textstyle n=150}
P
(
M
n
∈
[
μ
−
10
,
μ
+
10
]
)
≈
1
P
(
M
n
∈
[
μ
−
5
,
μ
+
5
]
)
≈
1
P
(
M
n
∈
[
μ
−
1
,
μ
+
1
]
)
=
0.5858
P
(
M
n
∈
[
μ
−
0.4
,
μ
+
0.4
]
)
=
0.2560
P
(
M
n
∈
[
μ
−
0.1
,
μ
+
0.1
]
)
=
0.0651
{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}P\left(M_{n}\in [\mu -10,\mu +10]\right)&\approx &1\\P\left(M_{n}\in [\mu -5,\mu +5]\right)&\approx &1\\P\left(M_{n}\in [\mu -1,\mu +1]\right)&=&0.5858\\P\left(M_{n}\in [\mu -0.4,\mu +0.4]\right)&=&0.2560\\P\left(M_{n}\in [\mu -0.1,\mu +0.1]\right)&=&0.0651\end{array}}}
Falls
n
=
1200
{\textstyle n=1200}
P
(
M
n
∈
[
μ
−
10
,
μ
+
10
]
)
≈
1
P
(
M
n
∈
[
μ
−
5
,
μ
+
5
]
)
≈
1
P
(
M
n
∈
[
μ
−
1
,
μ
+
1
]
)
=
0.9791
P
(
M
n
∈
[
μ
−
0.4
,
μ
+
0.4
]
)
=
0.6444
P
(
M
n
∈
[
μ
−
0.1
,
μ
+
0.1
]
)
=
0.1826
{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}P\left(M_{n}\in [\mu -10,\mu +10]\right)&\approx &1\\P\left(M_{n}\in [\mu -5,\mu +5]\right)&\approx &1\\P\left(M_{n}\in [\mu -1,\mu +1]\right)&=&0.9791\\P\left(M_{n}\in [\mu -0.4,\mu +0.4]\right)&=&0.6444\\P\left(M_{n}\in [\mu -0.1,\mu +0.1]\right)&=&0.1826\end{array}}}
Ziel ist es nun, auch Intervallschätzungen für unbekannte Parameter von stetigen ZV anzugeben. Dazu benötigen wir Kenntnisse über einige weitere Verteilungen (
t
{\textstyle t}
χ
2
{\textstyle \chi ^{2}}
In diesem Abschnitt wollen wir diese Verteilungen definieren und ihre wichtigsten Eigenschaften zusammenfassen. Als weiteres Hilfsmittel brauchen wir dazu die Gamma-Funktion.
Die Gamma-Funktion ist definiert durch:
Γ
:
(
0
,
∞
)
→
R
,
Γ
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
⋅
e
−
t
d
t
{\textstyle \quad \Gamma :(0,\infty )\to \mathbb {R} ,\ \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}\cdot e^{-t}\ dt}
In R
Γ
(
x
)
{\textstyle \Gamma (x)}
x
∈
(
0
,
∞
)
{\textstyle x\in (0,\infty )}
gamma(x) .
Werte der Gamma-Funktion auf den ganzen und halben Zahlen
Bearbeiten
Für alle
n
∈
N
∖
{
0
}
{\textstyle n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\textstyle \quad \Gamma (n)=(n-1)!}
Für alle
n
∈
N
{\textstyle n\in \mathbb {N} }
Γ
(
n
+
1
2
)
=
(
2
n
)
!
n
!
⋅
4
n
⋅
π
{\textstyle \quad \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!}{n!\cdot 4^{n}}}\cdot {\sqrt {\pi }}}
Es gilt:
Γ
(
1
2
)
=
π
Γ
(
1
)
=
1
Γ
(
3
2
)
=
1
2
⋅
π
Γ
(
2
)
=
1
Γ
(
5
2
)
=
3
4
⋅
π
Γ
(
3
)
=
2
Γ
(
7
2
)
=
15
8
⋅
π
Γ
(
4
)
=
6
{\displaystyle {\begin{array}{|ccr|ccc|}\hline \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\Gamma (1)&=&1\\\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)&=&{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\pi }}&\Gamma (2)&=&1\\\Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)&=&{\frac {3}{4}}\cdot {\sqrt {\pi }}&\Gamma (3)&=&2\\\Gamma \left({\frac {7}{2}}\right)&=&{\frac {15}{8}}\cdot {\sqrt {\pi }}&\Gamma (4)&=&6\\\hline \end{array}}}
Sei
k
∈
N
{\textstyle k\in \mathbb {N} }
Eine ZV
X
{\textstyle X}
f
:
R
→
[
0
,
∞
)
,
f
(
t
)
=
Γ
(
k
+
1
2
)
k
π
⋅
Γ
(
k
2
)
⋅
(
1
+
t
2
k
)
−
k
+
1
2
{\displaystyle \quad f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\ f(t)={\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{{\sqrt {k\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\cdot \left(1+{\frac {t^{2}}{k}}\right)^{-{\frac {k+1}{2}}}}
t
{\textstyle t}
k
{\textstyle k}
Die Verteilungsfunktion einer
t
{\textstyle t}
k
{\textstyle k}
T
k
{\textstyle T_{k}}
T
k
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
=
Γ
(
k
+
1
2
)
k
π
⋅
Γ
(
k
2
)
⋅
∫
−
∞
x
(
1
+
x
2
k
)
−
k
+
1
2
d
t
{\displaystyle T_{k}(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\ dt={\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{{\sqrt {k\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\cdot \int \limits _{-\infty }^{x}\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{-{\frac {k+1}{2}}}\ dt}
Interaktive Shiny-App zur t-Verteilung:Download und Link
Für große
k
{\displaystyle k}
t
{\textstyle t}
T
k
(
x
)
≈
Φ
(
x
)
{\textstyle T_{k}(x)\approx \Phi (x)}
k
{\textstyle k}
Für eine
t
{\displaystyle t}
X
{\textstyle X}
k
{\textstyle k}
R
die Funktionswerte der W-Dichte von
X
{\textstyle X}
f
(
t
)
=
d
t
(
t
,
k
)
{\textstyle f(t)=\color {blue}{dt(t,k)}}
die Funktionswerte der VF von
X
{\textstyle X}
T
n
(
x
)
=
p
t
(
x
,
k
)
{\textstyle T_{n}(x)=\color {blue}{pt(x,k)}}
die Wahrscheinlichkeit für
X
∈
[
u
,
v
]
{\textstyle X\in [u,v]}
P
(
u
≤
X
≤
v
)
=
p
t
(
v
,
k
)
−
p
t
(
u
,
k
)
{\textstyle P(u\leq X\leq v)=\color {blue}{pt(v,k)-pt(u,k)}}
für
q
∈
]
0
,
1
[
{\textstyle q\in ]0,1[}
x
∈
R
{\textstyle x\in \mathbb {R} }
T
k
(
x
)
=
q
{\textstyle T_{k}(x)=q}
x
=
q
t
(
q
,
k
)
{\textstyle x=\color {blue}{qt(q,k)}}
Sei
k
∈
N
{\textstyle k\in \mathbb {N} }
Eine ZV
X
{\textstyle X}
f
:
R
→
[
0
,
∞
)
,
f
(
t
)
=
{
1
2
k
2
⋅
Γ
(
k
2
)
⋅
t
(
k
2
−
1
)
⋅
e
t
2
,
falls
t
>
0
0
,
falls
t
≤
0
{\textstyle \quad f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\cdot \Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\cdot t^{\left({\frac {k}{2}}-1\right)}\cdot e^{\frac {t}{2}}&,&{\text{falls}}\ t>0\\0&,&{\text{falls}}\ t\leq 0\end{array}}\right.}
Χ2 -verteilt mit
k
{\textstyle k}
.
Die Verteilungsfunktion einer
χ
2
{\textstyle \chi ^{2}}
k
{\textstyle k}
S
k
{\textstyle S_{k}}
Interaktive Shiny-App zur Chi-Quadrat-Verteilung:Download und Link
Für eine
χ
2
{\displaystyle \chi ^{2}}
X
{\displaystyle X}
k
{\displaystyle k}
R :
die Funktionswerte der W-Dichte von
X
{\textstyle X}
f
(
t
)
=
d
c
h
i
s
q
(
t
,
k
)
{\textstyle f(t)=\color {blue}{dchisq(t,k)}}
die Funktionswerte der VF von
X
{\textstyle X}
T
n
(
x
)
=
p
c
h
i
s
q
(
x
,
k
)
{\textstyle T_{n}(x)=\color {blue}{pchisq(x,k)}}
die Wahrscheinlichkeit für
X
∈
[
u
,
v
]
{\textstyle X\in [u,v]}
P
(
u
≤
X
≤
v
)
=
p
c
h
i
s
q
(
v
,
k
)
−
p
c
h
i
s
q
(
u
,
k
)
{\textstyle P(u\leq X\leq v)=\color {blue}{pchisq(v,k)-pchisq(u,k)}}
für
q
∈
]
0
,
1
[
{\textstyle q\in ]0,1[}
x
∈
R
{\textstyle x\in \mathbb {R} }
T
k
(
x
)
=
q
{\textstyle T_{k}(x)=q}
x
=
q
c
h
i
s
q
(
q
,
k
)
{\textstyle x=\color {blue}{qchisq(q,k)}}
![{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}P\left(M_{n}\in [\mu -10,\mu +10]\right)&=&0.9971\\P\left(M_{n}\in [\mu -5,\mu +5]\right)&=&0.8640\\P\left(M_{n}\in [\mu -1,\mu +1]\right)&=&0.2344\\P\left(M_{n}\in [\mu -0.4,\mu +0.4]\right)&=&0.0949\\P\left(M_{n}\in [\mu -0.1,\mu +0.1]\right)&=&0.0238\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537807630034159155bc19cacbd6d923aaee2427)
![{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}P\left(M_{n}\in [\mu -10,\mu +10]\right)&\approx &1\\P\left(M_{n}\in [\mu -5,\mu +5]\right)&\approx &1\\P\left(M_{n}\in [\mu -1,\mu +1]\right)&=&0.5858\\P\left(M_{n}\in [\mu -0.4,\mu +0.4]\right)&=&0.2560\\P\left(M_{n}\in [\mu -0.1,\mu +0.1]\right)&=&0.0651\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2997e5df2d314b0531ddb10281f15b4326372f5)
![{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}P\left(M_{n}\in [\mu -10,\mu +10]\right)&\approx &1\\P\left(M_{n}\in [\mu -5,\mu +5]\right)&\approx &1\\P\left(M_{n}\in [\mu -1,\mu +1]\right)&=&0.9791\\P\left(M_{n}\in [\mu -0.4,\mu +0.4]\right)&=&0.6444\\P\left(M_{n}\in [\mu -0.1,\mu +0.1]\right)&=&0.1826\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dfd585c7b1855d187fa6f49f04ba313446615bc)
![{\textstyle X\in [u,v]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b49bfad24a43cfec5f9fb8e1c198d72e1f62524)
![{\textstyle q\in ]0,1[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c7ef054e569a84b7ebe6f2621a2480c868e389)
