Kurs:Statistik für Anwender/Normalverteilte Zufallsvariablen

Normalverteilte Zufallsvariable

Standardnormalverteilung

Gaußsche Dichtefunktion

Die Funktion

$$\varphi :\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ \varphi (t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-t^{2}}{2}}\right)$$

heißt Gaußche Dichtefunktion (bzw. Gaußsche Glockenkurve). Es gilt ${\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)dt=1}$.

Verteilungsfunktion

Folglich ist ${\textstyle \varphi }$ die Dichtefunktion einer ZV mit Verteilungsfunktion

$$\Phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ \Phi (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\varphi (t)dt\quad (x\in \mathbb {R} )$$

Man nennt ${\textstyle \Phi }$ die Standardnormalverteilung. Zufallsvariablen mit Dichte ${\textstyle \varphi }$, nennt man standardnormalverteilt.

Berechnung in R

Da das Integral über ${\textstyle \varphi }$ nicht geschlossen lösbar ist, benutzt man geeignete Software zur Berechnung von ${\textstyle \Phi (x)}$.
In R erhält man ${\textstyle \Phi (x)}$ durch pnorm(${\textstyle x}$).

Eigenschaften der Standardnormalverteilung

Einige wichtige Eigenschaften von ${\textstyle \varphi }$ und ${\textstyle \Phi }$:

Eigenschaften der Standardnormalverteilung I

• Die Dichtefunktion ${\textstyle \varphi }$ ist symmetrisch zur ${\textstyle y}$-Achse. Sie ist monoton wachsend auf ${\textstyle ]-\infty ,0]}$ und monoton fallend auf ${\textstyle [0,\infty )}$, hat also die Maximumstelle ${\textstyle 0}$. Wendepunkte liegen an den Stellen ${\textstyle \pm 1}$. Es gilt ${\textstyle \lim \limits _{t\to \pm \infty }\varphi (t)=0}$.

Eigenschaften der Standardnormalverteilung II

• Für alle ${\textstyle x\in \mathbb {R} }$ gilt ${\textstyle \Phi (x)+\Phi (-x)=1}$. Folglich gilt für eine standardnormalverteilte ZV ${\textstyle Z}$ stets:
  $$P(Z\leq -x)=1-P(Z\geq x)\quad {\text{also insbesondere}}$$
  $$\quad P(Z\leq 0)=\Phi (0)={\frac {1}{2}}=P(Z\geq 0)$$

Eigenschaften der Standardnormalverteilung III

• Eine standardnormalverteilte ZV hat Erwartungswert ${\textstyle 0}$ und Varianz ${\textstyle 1}$.

Beispiel Standardnormalverteilte ZV

Für eine standardnormalverteilte ZV ${\textstyle Z}$ gilt:

$P(Z\leq 0.7)=0.7580$

$P(Z\geq 1)=0.1587,$

$P(-2\leq Z\leq -1)=0.1359$

Außerdem ist

$P(-0.2\leq Z\leq 0.2)=0.1585$

und analog

$P(-1.5\leq Z\leq 1.5)=0.8664$

Normalverteilung

Dichtefunktion

Seien ${\textstyle \mu \in \mathbb {R} }$ und ${\textstyle \sigma >0}$ gegeben.

Eine ZV ${\textstyle X}$ mit der W-Dichte ${\textstyle \quad f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\ f(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$
heißt normalverteilt mit EW ${\textstyle \mu }$ und SA ${\textstyle \sigma }$.

Verteilungsfunktion

Für die Verteilungsfunktion ${\textstyle F}$ von ${\textstyle X}$ gilt dann:

$$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)dt=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$$

Dabei ist ${\textstyle \Phi }$ definiert durch: ${\textstyle \quad \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \int \limits _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt}$
Beachte: ${\textstyle \Phi (x)}$ kann nur (computerunterstützt) näherungsweise berechnet werden, da obiges Integral nicht analytisch gelöst werden kann.

Beispiel Dichte- und Verteilungsfunktion

Beispiel Dichte- und Verteilungsfunktion interkativ

Interaktive Shiny-App zur Normalverteilung:
Download und Link

Anmerkungen zur Normalverteilung I

• Der EW ${\textstyle \mu }$ entspricht der Maximumstelle von ${\textstyle f_{\mu ,\sigma }}$. Daher ist es wahrscheinlicher, dass eine Realisation einer normalverteilten ZV ${\textstyle X}$ in der Nähe des EW liegt, als dass sie (in einem gleich großen Bereich) weit vom EW entfernt liegt.

• ${\textstyle f_{\mu ,\sigma }}$ ist symmetrisch bezüglich der Parallellen zur ${\textstyle y}$-Achse durch ${\textstyle (\mu ,0)}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Realisation von ${\textstyle X}$ in einem bestimmten Bereich liegt ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie in dem am EW gespiegelten Bereich liegt.

Anmerkungen zur Normalverteilung II

• Ist ${\textstyle \sigma }$ groß, so ist die Kurve ${\textstyle f_{\mu ,\sigma }}$ breiter, d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Realisation von ${\textstyle X}$ weit entfernt vom EW liegt, ist dann größer. Ist ${\textstyle \sigma }$ klein, so liegen die Realisationen von ${\textstyle X}$ mit noch höherer Wahrscheinlichkeit in der Nähe des EW.

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Für eine normalverteilte ZV ${\textstyle X}$ mit EW ${\textstyle \mu }$ und Standardabweichung ${\textstyle \sigma }$ gilt für beliebige Zahlen ${\textstyle u,v\in \mathbb {R} }$ mit ${\textstyle u\leq v}$:

$$P\left(X\leq v\right)=\Phi \left({\frac {v-\mu }{\sigma }}\right),\quad P\left(u\leq X\right)=1-\Phi \left({\frac {u-\mu }{\sigma }}\right),\quad$$

$$P\left(u\leq X\leq v\right)=\Phi \left({\frac {v-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {u-\mu }{\sigma }}\right)$$

Beispiel Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

• Für eine normalverteilte Größe ${\textstyle X}$ mit ${\textstyle \mu =100}$ und ${\textstyle \sigma =10}$ gilt:
  

  $${\begin{array}{ccccccccccccccc}P(X\leq 80)&=&0.0228\\P(X\geq 95)&=&0.6915\\P(110\leq X\leq 125)&=&0.1524\end{array}}$$

• Für eine normalverteilte Größe ${\textstyle X}$ mit ${\textstyle \mu =100}$ und ${\textstyle \sigma =50}$ gilt:
  

  $${\begin{array}{ccccccccccccccc}P(X\leq 80)&=&0.3446\\P(X\geq 95)&=&0.5398\\P(110\leq X\leq 125)&=&0.1122\end{array}}$$

Erwartungswert und Standardabweichung

Für eine normalverteilte ZV ${\textstyle X}$ mit EW ${\textstyle \mu }$ und Standardabweichung ${\textstyle \sigma }$ gilt:

$$E(X)=\mu \quad {\text{und}}\quad V(X)=\sigma ^{2}$$

Praktische Anwendung der NV

Viele in Natur und Umwelt vorkommenden ZV sind (zumindest näherungsweise) normalverteilt. In der Tat kann dies mathematisch erklärt werden. Nach dem Zentralen Grenzwertsatz ist jede ZV, die sich als Summe vieler unabhängiger ZV ergibt (unter gewissen, meist erfüllten Bedingungen) annähernd normalverteilt.

Beispiele Anwendung der NV I

• Eine binomialverteilte Größe (${\textstyle n}$ Versuche, Trefferwahrscheinlicheit ${\textstyle p}$) ist annnähernd normalverteilt mit ${\textstyle \mu =np}$ und ${\textstyle \sigma ={\sqrt {np(1-p)}}}$, wenn ${\textstyle n}$ groß ist (auf diesen Fall gehen wir später nochmals ausführlicher ein).
• Die ZV für die Summe der Augenzahlen beim Werfen vieler Würfel ist annähernd normalverteilt.
• Zeitspannen, die sich aus vielen (unabhängigen) kleinen Einheiten zusammensetzen, können als näherungsweise normalverteilt angenommen werden, beispielsweise die Zeit, die ein Kundenberater für 20 telefonische Beratungsgespräche braucht.

Beispiele Anwendung der NV II

• Zufällig zustandegekommene Messfehler sind oft näherungsweise normalverteilt mit Erwartungswert ${\textstyle \mu =0}$ (im Gegensatz zu systematischen Messfehlern).
• Der Ertrag einer Ernte ist abhängig von vielen zufälligen Einflüssen. Nimmt man an, dass diese Faktoren unabhängig voneinander gewisse Beiträge liefern, so folgt daraus, dass der Ernteertrag näherungsweise normalverteilt ist.

Berechnung in R

Für eine normalverteilte ZV ${\textstyle X}$ mit EW ${\textstyle \mu }$ und Standardabweichung ${\textstyle \sigma }$ berechnet man in R:

• die Funktionswerte der W-Dichte von $X$ durch: $f(t)=\color {blue}{dnorm}\color {blue}{(t,\mu ,\sigma )}$
• die Funktionswerte der VF von $X$ durch: $F(x)=\color {blue}{pnorm}\color {blue}{(x,\mu ,\sigma )}$
• die Wahrscheinlichkeit für $X\in [u,v]$ durch: $P(u\leq X\leq v)=\color {blue}{pnorm}\color {blue}{(v,\mu ,\sigma )}\color {blue}{-pnorm}\color {blue}{(u,\mu ,\sigma )}$

Aufgabe 1.1

Setzen Sie alle Parameter in die bekannten Formeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten ZVen ein und nutzen Sie dann zur Berechnung den R-Befehl pnorm.

1. Berechnen Sie für eine mit EW ${\textstyle \mu =120}$ und Standardabweichung ${\textstyle \sigma =30}$ normalverteilte ZV ${\textstyle X}$ die Wahrscheinlichkeiten:

$$P(100\leq X\leq 140),\quad P(X>110),\quad P(X\leq 120).$$

2. Plotten Sie mit R den Graph der Dichtefunktion von X aus Aufgabe a). Markieren Sie die in Aufgabe a) berechneten Wahrscheinlichkeiten in einem Ausdruck des geplotteten Graphen.

Aufgabe 1.2

3. Zeigen Sie, dass bei einer normalverteilten Zufallsvariable ${\textstyle X}$ mit EW ${\textstyle \mu }$ und Standardabweichung ${\textstyle \sigma }$ die Wahrscheinlichkeiten

$$P(\mu -\sigma \leq X\leq \mu +\sigma ),\quad P(\mu -2\cdot \sigma \leq X\leq \mu +2\cdot \sigma ),\quad$$

$$P(\mu -{\frac {1}{2}}\cdot \sigma \leq X\leq \mu +{\frac {1}{2}}\cdot \sigma )$$

nicht von ${\textstyle \mu }$ und ${\textstyle \sigma }$ abhängen und berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeitswerte.
4. Sortieren Sie (ohne zu rechnen) für eine normalverteilte Zufallsvariable ${\textstyle X}$ mit ${\textstyle \mu =50}$ und ${\textstyle \sigma =15}$ die folgenden Wahrscheinlichkeiten der Größe nach: ${\textstyle P(X\leq 70)}$, ${\textstyle P(40\leq X\leq 70)}$, ${\textstyle P(X=40)}$, ${\textstyle P(X\geq 40)}$, ${\textstyle P(10\leq X\leq 40)}$.

Aufgabe 1.3

5. Sortieren Sie (ohne zu rechnen) für eine normalverteilte Zufallsvariablen ${\textstyle X}$ die Wahrscheinlichkeitswerte für ${\textstyle P(190\leq X\leq 210)}$ für die folgenden Werte von ${\textstyle \mu }$ und ${\textstyle \sigma }$ der Größe nach:
${\textstyle \mu =200}$ und ${\textstyle \sigma =20}$,
${\textstyle \mu =200}$ und ${\textstyle \sigma =60}$,
${\textstyle \mu =150}$ und ${\textstyle \sigma =20}$,
${\textstyle \mu =150}$ und ${\textstyle \sigma =60}$.

Sigma-Regeln

(${\textstyle \sigma }$-Regeln für normalverteilte ZV)
Wir betrachten eine normalverteilte ZV ${\textstyle X}$ mit EW ${\textstyle \mu }$ und Standardabweichung $\sigma$. Dann gilt:
$P\left(\mu -c\leq X\leq \mu +c\right)=2\cdot \Phi \left({\frac {c}{\sigma }}\right)-1\quad \left({\text{für beliebiges}}\ c>0\right)$

Beispiel Sigma-Regeln

Speziell für ${\textstyle c=k\cdot \sigma }$ ergeben sich die ${\textstyle \sigma }$-Regeln:

• ${\textstyle P\left(X\in [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]\right)\approx 0.6827}$
  d.h. ca. 68,27% der Werte von ${\textstyle X}$ liegen näher als ${\textstyle \sigma }$ beim EW
• ${\textstyle P\left(X\in [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]\right)\approx 0.9545}$
  d.h. ca. 95,45% der Werte von ${\textstyle X}$ liegen näher als ${\textstyle 2\sigma }$ beim EW
• ${\textstyle P\left(X\in [\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma ]\right)\approx 0.9973}$
  d.h. ca. 99,73% der Werte von ${\textstyle X}$ liegen näher als ${\textstyle 3\sigma }$ beim EW

Der Zentrale Grenzwertsatz

In der Praxis treten oft ZV auf, die (annähernd) normalverteilt sind. Dies lässt sich mit mathematischen Methoden erklären. Grundlage dafür ist der folgende sogenannte Zentrale Grenwertsatz, der (etwas präziser formuliert) bewiesen werden kann:

ZV als Summe vieler unabhängiger ZV

Falls eine ZV ${\textstyle S}$ mit Erwartungswert ${\textstyle \mu \in \mathbb {R} }$ und Standardabweichung ${\textstyle \sigma >0}$ die Summe von vielen unabhängigen ZV ist (also: ${\textstyle S=Z_{1}+Z_{2}+\ldots +Z_{n}}$ mit ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ groß), so gilt (unter gewissen Zusatzvoraussetzungen, die wir hier nicht diskutieren wollen, die aber in der Praxis oft erfüllt sind):

$P(S\leq x)\approx \Phi _{\mu ,\sigma }(x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\quad {\text{für}}\ x\in \mathbb {R}$

$S$ entspricht in diesem Sinne also näherungsweise einer Normalverteilung mit demselben Ewartungswert und derselben Standardabweichung.

Spezialfall

Ein wichtiger Spezialfall davon ist die folgende Situation: Von einer ZV ${\textstyle Z}$ ist nur der Erwartungswert ${\textstyle E(Z)}$ und die Standardabweichung ${\textstyle \sigma _{Z}}$ bekannt. Ansonsten weiß man nichts über die Art der Verteilung. Nun sei ${\textstyle S_{n}}$ die Summe von ${\textstyle n}$ unabhängigen ZV, die alle diesselbe Verteilung wie ${\textstyle Z}$ haben. Dann ist ${\textstyle S_{n}}$ approximativ normalverteilt mit ${\textstyle E(S_{n})=n\cdot E(Z)\ {\text{und}}\ \sigma _{(S_{n})}={\sqrt {n}}\cdot \sigma _{Z}}$.

Beispiel 1.1

$1000$ Würfel werden geworfen. Die ZV ${\textstyle S=S_{1000}}$ beschreibt die Augensumme. Damit folgt, dass ${\textstyle S=Z_{1}+Z_{2}+\ldots +Z_{1000}}$ ist, wobei ${\textstyle Z_{1},\ldots ,Z_{1000}}$ unabhängig sind und alle dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung haben wie die ZV für die Zahl eines einzelnen Würfels (${\textstyle Z_{j}}$ beschreibt die Zahl des ${\textstyle j}$-ten Würfels). Es gilt:

${\begin{aligned}E(Z_{j})=3.5\ {\text{für alle}}\ j&\Rightarrow &E(S)=3500\\{\text{und}}&&\\V(Z_{j})=2.9167\ {\text{für alle}}\ j&\Rightarrow &V(S)=2916.7&&\\&\Rightarrow &\sigma _{Z}=54.006\end{aligned}}$

Nach dem Zentralen Grenzwertsatz ist ${\textstyle S}$ approximativ normalverteilt mit ${\textstyle \mu =3500}$ und ${\textstyle \sigma =54.006}$. Also folgt etwa:

Beispiel 1.2

• ${\textstyle P(S\leq 3600)=0.9686}$

Da ${\textstyle S}$ nur ganzzahlige Werte annehmen kann, kann die ${\textstyle 3600}$ durch jede Zahl aus dem halboffenen Intervall ${\textstyle [3600,3601[}$ ersetzt werden. Mit dem mittleren Wert ${\textstyle 3600.5}$ hofft man auf eine möglichst gute Approximation.

• ${\textstyle P(S\geq 3480)=0.3521}$

Auf der rechten Seite kann jede Zahl aus dem halboffenen Intervall ${\textstyle [3479,3480[}$ stehen. Erneut wählt man den mittleren Wert mit dem Ziel einer möglichst guten Approximation.

• ${\textstyle P(3495\leq S\leq 3505)=0.0811}$
• ${\textstyle P(3395\leq S\leq 3405)=0.0147}$

Beispiel 2

${\textstyle Z}$ sei die ZV für die Dauer (in Minuten) eines Gespräch eines Telefonberaters (bekannt sei hier, dass ${\textstyle E(Z)=5.2}$ und ${\textstyle \sigma _{Z}=1.6}$).
${\textstyle S_{20}}$ ist dann die ZV für die Dauer von (unabhängigen) ${\textstyle 20}$ Gesprächen.
Dann ist
${\textstyle E(S_{20})=2104\quad {\text{und}}\quad \sigma _{(S_{20})}=7.155}$
Man kann also ${\textstyle S_{20}}$ als approximativ normalverteilt mit ${\textstyle \mu =104}$ und ${\textstyle \sigma =7.155}$ annehmen.

Beispiel 3

Die Lebensdauer ${\textstyle Z}$ eines elektronischen Bauteils (in Tagen) ist exponentialverteilt zum Parameter ${\textstyle \lambda =0.2}$. Dann gilt ${\textstyle E(Z)=5}$ und ${\textstyle V(Z)=5}$.
Man hat nun 50 der Bauteile zur Vefügung und setzt diese nacheinander ein (solange sie funktionieren). Die ZV ${\textstyle S}$, die die Gesamtlaufzeit beschreibt ist dann die Summe der 50 einzelnen Laufzeiten, also ${\textstyle S=Z_{1}+\ldots +Z_{50}}$, wobei ${\textstyle Z_{1},\ldots ,Z_{50}}$ unabhängig voneinander sind und alle die gleiche Verteilung haben (dieselbe wie ${\textstyle Z}$). Folglich ist ${\textstyle S}$ approximativ normalverteilt mit ${\textstyle E(S)=250\ {\text{und}}\ V(S)=35.36}$. Also folgt beispielsweise:

${\textstyle {\begin{array}{rcccccl}P(S\geq 200)&=&0.9214\\P(220\leq S\leq 260)&=&0.4133\end{array}}}$

Praktische Anwendung des ZGWS

In der Praxis kann man oft davon ausgehen (bzw. vermuten), dass eine ZV ${\textstyle S}$ die Summe von ${\textstyle n}$ unabhängigen ZV (${\textstyle n}$ groß) ist. Dann folgt aus dem Zentralen Grenzwertsatz, dass ${\textstyle S}$ approximativ normalverteilt ist.

Beispiel 1

Sei ${\textstyle Z}$ die ZV für die Zeit, die ein bestimmter Student morgens vom Aufstehen bis zum Erreichen der Uni benötigt. Dann gilt etwa:

$$Z=B+F+T+W+\ldots \ ({\text{usw.}})$$

$$\left(B:\ {\text{Zeit im Bad}}\quad F:\ {\text{Zeit für das Frühstück}}\quad T:\ {\text{Zeit für Tasche packen}}\quad W:\ {\text{Zeit für den Weg}}\quad \ldots \right)$$

Wenn man davon ausgeht, dass diese ZV alle unahängig sind, dann liegt die Vermutung nahe, dass ${\textstyle Z}$ normalverteilt ist (${\textstyle \mu }$ und ${\textstyle \sigma }$ sind dann allerdings zunächst unbekannt).

Beispiel 2

Die Regenmenge in einem Jahr (an einem bestimmten Ort) ist die Summe der Regenmengen an den 365 Tagen dieses Jahres. Diese Tagesregenmengen sind weitgehend (aber nicht vollständig) unabhängig voneinander, denn es gibt kaum einen Zusammenhang zwischen den Regenmengen zweier Tage, die nicht zu nah beisammen liegen. Die Regenmenge eines einzelnen Tages ist sicherlich nicht normalverteilt, die jährliche Regenmenge hingegen (approximativ) schon.

Aufgabe 3

Die Zufallsvariable ${\textstyle S}$ beschreibe die Zeit (in Minuten), die man insgesamt warten muss, wenn man ${\textstyle 300}$-mal (unabhängig voneinander) mit der Bahn fährt. Dabei sei jede einzelne Wartezeit ${\textstyle X_{j}}$ ${\textstyle (j=1,\ldots ,300)}$ als gleichverteilt auf dem Intervall ${\textstyle \left[0,7\right]}$ angenommen.
(Das ist sinnvoll, wenn die Bahn alle ${\textstyle 7}$ Minuten fährt und man zu einem zufälligen Zeitpunkt zur Haltestelle kommt).
Nach dem zentralen Grenzwertsatz (ZGWS) ist ${\textstyle S=X_{1}+\ldots +X_{300}}$ (näherungsweise) normalverteilt.
Berechnen Sie zunächst die Parameter ${\textstyle \mu =E(S)}$ und ${\textstyle \sigma ={\sqrt {V(S)}}}$ der (näherungsweise) normalverteilten ZV ${\textstyle S}$ und damit dann die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Gesamtwartezeit ${\textstyle S}$ zwischen 1000 und 1100 Minuten haben.

Aufgabe 4

Die Lebensdauer (in Betriebsstunden) eines elektronischen Bauteils sei exponentialverteilt mit Parameter ${\textstyle \lambda =0.025}$. Eine Firma hat ${\textstyle 40}$ dieser Bauteile zur Verfügung, die nacheinander eingesetzt werden können (es wird immer nur eines benötigt). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Bauteile insgesamt mindestens ${\textstyle 1500}$ Betriebsstunden funktionieren.
Es sei hierzu ${\textstyle X_{j}}$ ${\textstyle (j=1,\ldots ,40)}$ die Betriebsdauer eines Bauteils und ${\textstyle X_{j}{\overset {d}{=}}Exp(0.025)}$ für alle ${\textstyle j=1,\ldots ,40}$. Außerdem sei die Betriebszeit der einzelnen Bauteile als unabhängig voneinander angenommen. Dann ist die Gesamtbetirebsdauer aller Bauteile ${\textstyle S=X_{1}+\ldots +X_{40}}$ näherungsweise normalverteilt. Berechnen Sie ${\textstyle \mu =E(S)}$ und ${\textstyle \sigma ={\sqrt {V(S)}}}$.

Approximation der Binomialverteilung mit der Normalverteilung

Binomialverteilung

Einen Spezialfall des Zentralen Grenzwertsatzes erhält man bei der Betrachtung einer binomialverteilten ZV ${\textstyle T}$. Es ist:

$$T=\sum \limits _{j=1}^{n}T_{j}\quad {\text{wobei}}\ T_{j}=\left\{{\begin{array}{ccl}1&,&{\text{falls Treffer im}}\ j{\text{-ten Versuch}}\\0&,&{\text{falls kein Treffer im}}\ j{\text{-ten Versuch}}\end{array}}\right.$$

Binomialverteilung bei großer Stichprobe 1

Falls ${\textstyle n}$ groß ist, kann man daher die Wahrscheinlichkeit ${\textstyle P(T\leq x)}$ näherungsweise berechnen, indem man ${\textstyle T}$ durch eine normalverteilte ZV ${\textstyle N_{\mu ,\sigma }}$ mit Erwartungswert ${\textstyle \mu =\mu _{T}=n\cdot p}$ und Standardabweichung ${\textstyle \sigma =\sigma _{T}={\sqrt {np(1-p)}}}$ ersetzt, es gilt also:

$$P(T\leq x)\approx \Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)=\Phi \left({\frac {x-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)\quad \left({\text{für}}\ x\in \mathbb {R} \right)$$

Binomialverteilung bei großer Stichprobe 2

Ist speziell ${\textstyle k\in \{0,\ldots ,n\}}$, so gilt (weil ${\textstyle T}$ nur ganze Zahlen annehmen kann)

$$P(T\leq k)=P(T\leq k+r)\approx \Phi \left({\frac {k+r-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)$$

$\left({\text{für}}\ r\in [0,1[\ {\text{beliebig}}\right)$

$${\text{für}}\ r=0.5:\quad \quad P(T\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k+0.5-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)$$

und folglich

$$P(T\geq k)=1-P(T\leq k-1)\approx 1-\Phi \left({\frac {k-0.5-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)$$

$\left({\text{für}}\ k\in \{0,\ldots ,n\}\right)$

Beispiel

• Für ${\textstyle n=150}$ und ${\textstyle p=0.4}$ gilt:
  $${\begin{array}{|c|c|c|}\hline &{\text{exakter Wert}}&{\text{Approximation}}\\\hline P(T\leq 65)&0.8206&0.8203\\\hline P(T\geq 60)&0.5310&0.5332\\\hline P(50\leq T\leq 55)&0.1886&0.1866\\\hline \end{array}}$$
• Für ${\textstyle n=8000}$ und ${\textstyle p=0.7}$ gilt:
  $${\begin{array}{|c|c|c|}\hline &{\text{exakter Wert}}&{\text{Approximation}}\\\hline P(T\leq 5570)&0.2356&0.2358\\\hline P(T\geq 5600)&0.5055&0.5049\\\hline P(5590\leq T\leq 5650)&0.4929&0.4921\\\hline \end{array}}$$

Punktschätzungen für den Erwartungswert und Standardabweichung

Sei ${\textstyle X}$ eine normalverteilte ZV, für die ${\textstyle \mu \in \mathbb {R} }$ und ${\textstyle \sigma >0}$ unbekannt sind.
Basierend auf einer Stichprobe ${\textstyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ sind folgende Punktschätzungen sinnvoll:

• ${\textstyle \mu }$ wird geschätzt durch: ${\textstyle \quad {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}}$
• ${\textstyle \sigma }$ wird geschätzt durch: ${\textstyle \quad {\sqrt {{s_{x}}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\cdot \sum \limits _{j=1}^{n}\left(x_{j}-{\overline {x}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\left(\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}\right)^{2}\right)}}}$

Intervallschätzung für Erwartungswert und Standardabweichung

Bestimmung Standardabweichung und arithmetisches Mittel

Sei ${\textstyle X}$ eine normalverteilte ZV, für die ${\textstyle \mu \in \mathbb {R} }$ und ${\textstyle \sigma >0}$ unbekannt sind.
Basierend auf einer Stichprobe ${\textstyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ berechnet man zunächst

$${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}\quad {\text{und}}\quad s_{X}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\cdot \sum \limits _{j=1}^{n}\left(x_{j}-{\overline {x}}\right)^{2}}}$$

Davon ausgehend kann man nun wie folgt Intervallschätzungen für ${\textstyle \mu }$ bzw. ${\textstyle \sigma }$ zu einem vorgegebenen Konfidenzniveau ${\textstyle \delta {\stackrel {\text{z.B.}}{=}}0.95}$ berechnen:

Intervallschätzungen für Erwartungswert

Ist ${\textstyle q\left(=q_{\left[t,n-1,{\frac {1+\delta }{2}}\right]}\right)\in \mathbb {R} }$ die Zahl mit ${\textstyle T_{n-1}\left(q\right)={\frac {1+\delta }{2}}}$, so erhält man eine Intervallschätzung ${\textstyle [\mu _{U},\mu _{O}]}$ für ${\textstyle \mu }$ durch:

$$[\mu _{U},\mu _{O}]=\left[\ {\overline {x}}-c\ ,\ {\overline {x}}+c\ \right]\quad {\text{mit}}\quad c=q\cdot {\frac {s_{X}}{\sqrt {n}}}$$

Intervallschätzungen für Erwartungswert in R

Diese Konfidenzintervalle für ${\textstyle \mu }$ können in R direkt berechnet werden. Sind die Daten der Stichprobe in einem Vektor ${\textstyle x}$ eingetragen, so ergibt der Befehl ${\textstyle \color {blue}{t.test(x,}\color {blue}{conf.level}\color {blue}{=\delta )\$}\color {blue}{conf.int[1:2]}}$ ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau ${\textstyle \delta }$.

Intervallschätzungen für Standardabweichung in R

Sind ${\textstyle q_{U}=\left(=q_{\left[\chi ^{2},n-1,{\frac {1+\delta }{2}}\right]}\right)\in ]0,\infty [}$ und ${\textstyle q_{O}=\left(=q_{\left[\chi ^{2},n-1,{\frac {1-\delta }{2}}\right]}\right)\in ]0,\infty [}$ die Zahlen mit

$$S_{n-1}(q_{U})={\frac {1+\delta }{2}}\quad {\text{und}}\quad S_{n-1}(q_{O})={\frac {1-\delta }{2}}\ ,$$

so erhält man eine Intervallschätzung ${\textstyle [\sigma _{U},\sigma _{O}]}$ für ${\textstyle \sigma }$ durch:

$$[\sigma _{U},\sigma _{O}]=\left[\ {\sqrt {\frac {(n-1){s_{X}}^{2}}{q_{U}}}}\ ,\ {\sqrt {\frac {(n-1){s_{X}}^{2}}{q_{O}}}}\ \right]$$

Einhaltung des Konfidenzniveaus

Es ist bewiesen, dass diese Methoden zur Berechnung von Intervallschätzungen für ${\textstyle \mu }$ bzw. ${\textstyle \sigma }$ beide das vorgegebene Konfidenzniveau ${\textstyle \delta }$ einhalten, das heißt unabhängig von den wahren Werten von ${\textstyle \mu }$ und ${\textstyle \sigma }$ ist vor der Erhebung der Daten garantiert:

$$P\left(\mu \in [\mu _{U},\mu _{O}]\right)\geq \delta \quad {\text{und}}\quad P\left(\sigma \in [\sigma _{U},\sigma _{O}]\right)\geq \delta$$

Anmerkungen

• Hier gilt sogar: ${\textstyle \quad P\left(\mu \in [\mu _{U},\mu _{O}]\right)=\delta \ {\text{und}}\ P\left(\sigma \in [\sigma _{U},\sigma _{O}]\right)=\delta }$
• Man beachte, dass dabei die Intervallgrenzen ${\textstyle \mu _{U}}$ und ${\textstyle \mu _{O}}$ bzw. ${\textstyle \sigma _{U}}$ und ${\textstyle \sigma _{O}}$ vom Zufall abhängen (denn für ihre Berechnung werden die Daten ${\textstyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ verwendet). Andererseits sind ${\textstyle \mu }$ und ${\textstyle \sigma }$ zwar unbekannt, aber fest und hängen daher nicht vom Zufall ab. Nachdem man die Konfidenzintervalle berechnet hat, sind die Aussagen ${\textstyle \mu \in [\mu _{U},\mu _{O}]}$ bzw. ${\textstyle \sigma \in [\sigma _{U},\sigma _{O}]}$ daher entweder wahr oder falsch, man kann ihnen aber keine Wahrscheinlichkeit mehr zuweisen.

Beispiel:

Wir betrachten die ZV ${\textstyle X}$, die die jährliche Regenmenge an einem bestimmten Ort (in mm) beschreibt. Wir gehen dabei davon aus, dass ${\textstyle X}$ normalverteilt ist (dies ist plausibel, denn ${\textstyle X}$ ist die Summe von ${\textstyle 365}$ täglichen Regenmengen, die in weiten Teilen annähernd unabhängig voneinander sind).

Es liegt eine Stichprobe über ${\textstyle n=35}$ Jahre mit den folgenden Daten ${\textstyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ vor:

${\textstyle {\begin{array}{c}755,\ 921,\ 835,\ 772,\ 659,\ 570,\ 715,\ 837,\ 696,\ 651,\ 822,\ 734,\ 856,\ 771,\ 897,\ 680,\ 864,\ 811\\836,\ 739,\ 738,\ 485,\ 676,\ 643,\ 746,\ 1007,\ 759,\ 766,\ 800,\ 706,\ 764,\ 875,\ 701,\ 716,\ 846\end{array}}}$

Wir berechnen nun Intervallschätzungen für ${\textstyle \mu }$ und ${\textstyle \sigma }$ zum Konfidenzniveau ${\textstyle \delta =0.9}$:

1. IVS für ${\textstyle \mu }$: ${\textstyle [\mu _{U},\mu _{O}]=[732.44,790.36]}$
2. IVS für ${\textstyle \sigma }$:
   Man bestimmt zunächst die Zahlen ${\textstyle q_{U},q_{O}\in ]0,\infty [}$ mit: ${\textstyle [\sigma _{U},\sigma _{O}]=\left[84.756,127.014\right]}$

Aufgabe 1.1

Ein Düngemittel soll auf Wirksamkeit untersucht werden. Eine Messreihe ergibt für das Wachstum einer behandelten Pflanze innerhalb einer Woche die folgende (für ein sinnvolles Experiment deutlich zu kurze) Urliste von Werten (in cm):

$$9.2,\quad 12.4,\quad 7.9,\quad 10.5,\quad 7.9,\quad 11.1,\quad 8.6,\quad 8.8,\quad 8.9,\quad 9.2,\quad 9.7,\quad 9.2.$$

Wir nehmen an, dass das Merkmal Wachstum durch eine normalverteilte Zufallsvariable ${\textstyle X}$ mit unbekannten Parametern ${\textstyle \mu }$ und ${\textstyle \sigma }$ beschrieben werden kann.

• Geben Sie eine Punktschätzung für die Paramter ${\textstyle \mu }$ und ${\textstyle \sigma }$ der normalverteilten ZV ${\textstyle X}$ an.

Aufgabe 1.2

Wir nehmen nun an, dass diese Schätzungen den wahren Werten von ${\textstyle \mu }$ und ${\textstyle \sigma }$ entsprechen. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass eine behandelte Pflanze innerhalb einer Woche

• zwischen 8 cm und 12 cm wächst?
• exakt 9.73 cm gewachsen ist?
• mit 10.8 cm Wachstum gemessen wird, wenn die Messmethode bis auf einen Millimeter genau ist?

Berechnen Sie Intervallschätzungen für ${\textstyle \mu }$ und ${\textstyle \sigma }$ zum Konfidenzniveau ${\textstyle \delta =0.8}$.

Aufgabe 2

Ein Umweltwissenschaftler untersucht den Einfluss verschiedener Habitate auf das Gewicht der Waldspitzmaus (Sorex araneus). Dazu wird das Gewicht der untersuchten Mäuse als normalverteilt mit unbekannten Parametern ${\textstyle \mu }$ und ${\textstyle \sigma }$ angenommen. Bei einer Untersuchung werden ${\textstyle 320}$ Mäuse gewogen. Man ermittelt aus den Daten (angegeben in Gramm) den arithmetischen Mittelwert ${\textstyle {\overline {x}}=20.43}$ und die empirische Standardabweichung ${\textstyle s_{x}=5.13}$.
Berechnen Sie Punkt- und Intervallschätzungen für ${\textstyle \mu }$ und ${\textstyle \sigma }$ zum Konfidenzniveau ${\textstyle \delta =0.9}$.

Aufgabe 3.1

Wie verändert sich die Breite ${\textstyle \mu _{O}-\mu _{U}}$ eines Konfidenzintervalls ${\textstyle [\mu _{U},\mu _{O}]}$ für den unbekannten Erwartungswert ${\textstyle \mu }$ einer normalverteilten Zufallsvariable ${\textstyle X}$, basierend auf einer Stichprobe ${\textstyle x=(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ der Länge n, zum Konfidenzniveau ${\textstyle \delta }$, falls

• ${\textstyle {\overline {x}}}$ größer wird und ${\textstyle n}$, ${\textstyle s_{x}}$, ${\textstyle \delta }$ unverändert bleiben ?
• ${\textstyle s_{x}}$ größer wird und ${\textstyle n}$ und ${\textstyle \delta }$ unverändert bleiben ?
• ${\textstyle \delta }$ größer wird und ${\textstyle n}$ und ${\textstyle s_{x}}$ unverändert bleiben ?
• ${\textstyle n}$ größer wird und ${\textstyle s_{x}}$ und ${\textstyle \delta }$ unverändert bleiben ?

Aufgabe 3.2

Wie verändert sich die Breite ${\textstyle \sigma _{O}-\sigma _{U}}$ eines Konfidenzintervalls ${\textstyle [\sigma _{U},\sigma _{O}]}$ für die unbekannte Standardabweichung ${\textstyle \sigma }$ einer normalverteilten Zufallsvariable ${\textstyle X}$, basierend auf einer Stichprobe ${\textstyle x=(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ der Länge n, zum Konfidenzniveau ${\textstyle \delta }$, falls

• ${\textstyle s_{x}}$ größer wird und ${\textstyle n}$ und ${\textstyle \delta }$ unverändert bleiben ?
• ${\textstyle \delta }$ größer wird und ${\textstyle n}$ und ${\textstyle s_{x}}$ unverändert bleiben ?
• ${\textstyle n}$ größer wird und ${\textstyle s_{x}}$ und ${\textstyle \delta }$ unverändert bleiben ?

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