Zufallsvariablen
X
:
Ω
→
R
{\textstyle X:\Omega \to \mathbb {R} }
stetig , wenn sie wie folgt mit einer Dichtefunktion beschrieben werden können:
Eine (Wahrscheinlichkeits-)Dichtefunktion ist eine (stückweise stetige bzw. integrierbare) Funktion:
f
:
R
→
[
0
,
∞
[
{\textstyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [}
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
d
t
=
1
{\textstyle \quad \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)dt=1}
Eine Zufallsvariable
X
{\textstyle X}
f
{\textstyle f}
P
(
a
≤
X
≤
b
)
=
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
{\textstyle P(a\leq X\leq b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)dt\quad }
für alle
a
,
b
∈
R
∪
{
±
∞
}
{\textstyle a,b\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}
a
<
b
{\textstyle \ a<b}
Die Wahrscheinlichkeit, dass
X
{\textstyle X}
[
a
,
b
]
{\textstyle [a,b]}
f
{\textstyle f}
[
a
,
b
]
{\textstyle [a,b]}
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
d
t
=
1
{\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)dt=1}
P
(
−
∞
≤
X
≤
∞
)
=
1
{\textstyle P(-\infty \leq X\leq \infty )=1}
Bei einer stetigen Zufallsvariablen muss der zugrundeliegende W-Raum eine Ergebnismenge mit
|
Ω
|
=
∞
{\textstyle |\Omega |=\infty }
X
{\textstyle X}
X
{\textstyle X}
Beispiel 1 - Definition polynomiale Dichtefunktion
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Die Funktion
f
:
R
→
[
0
,
∞
[
,
f
(
t
)
=
{
20
t
3
−
t
4
160000
,
falls
t
∈
[
0
,
20
]
0
,
sonst
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {20t^{3}-t^{4}}{160000}}&,&{\text{falls}}\ t\in [0,20]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
d
t
=
1
{\displaystyle \quad \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)dt=1}
Beispiel 1.1 - Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
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Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ZV
X
{\textstyle X}
[
a
,
b
]
{\textstyle [a,b]}
P
(
X
≤
4
)
=
0.00672
P
(
10
≤
X
≤
14
)
=
0.34072
P
(
16
≤
X
)
=
0.26272
P
(
22
≤
X
≤
24
)
=
0
{\displaystyle {\begin{array}{rclclcl}P(X\leq 4)&=&0.00672\\P(10\leq X\leq 14)&=&0.34072\\P(16\leq X)&=&0.26272\\P(22\leq X\leq 24)&=&0\end{array}}}
Beispiel 1.2 - Visualisierung von Wahrscheinlichkeiten
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Visualisierung von Wahrscheinlichkeiten
f
:
R
→
R
,
f
(
t
)
=
e
−
t
+
2
(
1
+
e
−
t
+
2
)
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(t)={\frac {e^{-t+2}}{\left(1+e^{-t+2}\right)^{2}}}}
∫
−
∞
∞
e
−
t
+
2
(
1
+
e
−
t
+
2
)
2
d
t
=
[
1
1
+
e
−
t
+
2
]
−
∞
∞
=
lim
t
→
∞
1
1
+
e
−
t
+
2
−
lim
t
→
−
∞
1
1
+
e
−
t
+
2
=
1
−
0
=
1
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t+2}}{\left(1+e^{-t+2}\right)^{2}}}dt=\left[{\frac {1}{1+e^{-t+2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }=\lim \limits _{t\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-t+2}}}-\lim \limits _{t\to -\infty }{\frac {1}{1+e^{-t+2}}}=1-0=1}
Beispiel 2.1 - Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
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Für eine ZV
X
{\textstyle X}
P
(
X
≤
0
)
=
0.1192
P
(
1
≤
X
≤
4
)
=
0.6119
P
(
5
≤
X
)
=
0.0474
{\displaystyle {\begin{array}{rclclclcl}P(X\leq 0)&=&0.1192\\P(1\leq X\leq 4)&=&0.6119\\P(5\leq X)&=&0.0474\end{array}}}
Beispiel 2.2 - Visualisierung von Wahrscheinlichkeiten
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Visualisierung von Wahrscheinlichkeiten Beispiel 3 - Definition Dichtefunktion aus Rechteckverteilungen
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f
:
R
→
R
,
f
(
t
)
=
{
1
10
,
falls
t
∈
[
−
5
,
−
3
]
3
10
,
falls
t
∈
[
−
1
,
0
]
2
10
,
falls
t
∈
]
0
,
2
]
1
10
,
falls
t
∈
[
4
,
5
]
0
,
sonst
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {1}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [-5,-3]\\{\frac {3}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [-1,0]\\{\frac {2}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in ]0,2]\\{\frac {1}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [4,5]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}
Beispiel 3.1 - Zusammensetzung aus Verteilung
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Normalerweise sind Recheckverteilung (wie alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen) normiert (
P
(
Ω
)
=
1
{\displaystyle P(\Omega )=1}
1
=
∑
k
=
1
n
λ
k
{\displaystyle 1=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}}
0
≤
λ
k
≤
1
{\displaystyle 0\leq \lambda _{k}\leq 1}
[
−
5
,
−
3
]
{\displaystyle [-5,-3]}
f
1
(
t
)
=
1
2
{\displaystyle f_{1}(t)={\frac {1}{2}}}
f
(
t
)
:=
∑
k
=
1
n
λ
k
⋅
f
k
(
t
)
{\displaystyle f(t):=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\cdot f_{k}(t)}
Beispiel 3.2 - Normiertheit zusammengesetzter Verteilungen
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∫
−
∞
∞
f
(
t
)
d
t
=
∫
−
∞
∞
∑
k
=
1
n
λ
k
⋅
f
k
(
t
)
d
t
=
∑
k
=
1
n
λ
k
⋅
∫
−
∞
∞
f
k
(
t
)
d
t
⏟
=
1
=
∑
k
=
1
n
λ
k
=
1
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\cdot f_{k}(t)\,dt=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\cdot \underbrace {\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{k}(t)\,dt} _{=1}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}=1}
Beispiel 3.3 - Visualisierung von Wahrscheinlichkeiten
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Visualisierung von Wahrscheinlichkeiten Beispiel 3.4 - Bestimmung der Teilung der 1
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Im obigen Beispiel wäre bei der Zerlegung der 1
λ
1
=
2
10
{\displaystyle \lambda _{1}={\frac {2}{10}}}
λ
k
{\displaystyle \lambda _{k}}
λ
2
=
…
,
λ
3
=
…
,
λ
4
=
…
{\displaystyle \lambda _{2}=\ldots ,\quad \lambda _{3}=\ldots ,\quad \lambda _{4}=\ldots }
Bemerkung 3.5 - Verwendung der Teilung der 1
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Aus unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsdichten kann man so eine zusammengesetzte Verteilung konstruieren, wobei die
λ
k
{\displaystyle \lambda _{k}}
f
k
{\displaystyle f_{k}}
f
{\displaystyle f}
Hier ein weiteres Beispiel für eine Dichtefunktion
f
{\textstyle f}
Bei einer stetigen ZV
X
{\textstyle X}
P
(
X
=
x
)
=
0
{\textstyle \quad P(X=x)=0\quad }
x
∈
R
{\textstyle \ x\in \mathbb {R} }
P
(
X
≤
b
)
=
P
(
X
<
b
)
,
P
(
a
≤
X
)
=
P
(
a
<
X
)
,
{\textstyle P(X\leq b)=P(X<b),\quad P(a\leq X)=P(a<X),}
P
(
a
≤
X
≤
b
)
=
P
(
a
<
X
<
b
)
(
a
,
b
∈
R
∪
{
±
∞
}
)
{\textstyle \quad P(a\leq X\leq b)=P(a<X<b)\left(\ a,b\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}\right)}
Ist
Z
{\textstyle Z}
F
:
R
→
R
,
F
(
x
)
=
P
(
Z
≤
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ F(x)=P(Z\leq x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)dt}
Verteilungsfunktion von
Z
{\textstyle \mathbf {Z} }
.
Sie hat folgende Eigenschaften:
F
{\textstyle F}
F
{\textstyle F}
Es gilt
lim
x
→
−
∞
F
(
x
)
=
0
{\textstyle \lim \limits _{x\rightarrow -\infty }F(x)=0}
lim
x
→
∞
F
(
x
)
=
1
{\textstyle \lim \limits _{x\rightarrow \infty }F(x)=1}
Für alle
a
,
b
∈
R
{\textstyle \ a,b\in \mathbb {R} \ }
a
≤
b
{\textstyle \ a\leq b}
P
(
Z
≤
b
)
=
F
(
b
)
,
P
(
a
≤
Z
)
=
1
−
F
(
a
)
,
{\textstyle P(Z\leq b)=F(b),\quad P(a\leq Z)=1-F(a),}
P
(
a
≤
Z
≤
b
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle P(a\leq Z\leq b)=F(b)-F(a)}
Z
{\textstyle Z}
Z
{\textstyle Z}
Falls
f
{\textstyle f}
F
{\textstyle F}
f
{\textstyle f}
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\textstyle F^{\prime }(x)=f(x)}
x
∈
R
{\textstyle x\in \mathbb {R} }
(Genauer gesagt ist
F
{\textstyle F}
die Stammfunktion von
f
{\textstyle f}
lim
x
→
−
∞
F
(
x
)
=
0
{\textstyle \lim \limits _{x\to -\infty }F(x)=0}
Hat
X
{\textstyle X}
f
:
R
→
[
0
,
∞
[
,
f
(
t
)
=
{
20
t
3
−
t
4
160000
,
falls
t
∈
[
0
,
20
]
0
,
sonst
,
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {20t^{3}-t^{4}}{160000}}&,&{\text{falls}}\ t\in [0,20]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.,}
X
{\textstyle X}
F
(
x
)
=
{
0
,
falls
x
∈
]
−
∞
,
0
[
5
⋅
x
4
−
1
5
⋅
x
5
160000
,
falls
x
∈
[
0
,
20
]
1
,
falls
x
∈
]
20
,
∞
[
,
{\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}0&,&{\text{falls}}\ x\in ]-\infty ,0[\\{\frac {5\cdot x^{4}-{\frac {1}{5}}\cdot x^{5}}{160000}}&,&{\text{falls}}\ x\in [0,20]\\1&,&{\text{falls}}\ x\in ]20,\infty [\end{array}}\right.,}
Daraus ergibt sich (vergleiche Beispiel 1 )
P
(
X
≤
4
)
=
0.00672
P
(
10
≤
X
≤
14
)
=
0.34072
P
(
16
≤
X
)
=
0.26272
P
(
22
≤
X
≤
24
)
=
0
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccc}P(X\leq 4)&=&0.00672\\P(10\leq X\leq 14)&=&0.34072\\P(16\leq X)&=&0.26272\\P(22\leq X\leq 24)&=&0\end{array}}}
Hat
X
{\textstyle X}
f
:
R
→
[
0
,
∞
[
,
f
(
t
)
=
e
−
t
+
2
(
1
+
e
−
t
+
2
)
2
,
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)={\frac {e^{-t+2}}{\left(1+e^{-t+2}\right)^{2}}},}
X
{\textstyle X}
F
(
x
)
=
1
1
+
e
−
x
+
2
{\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+e^{-x+2}}}}
Daraus ergibt sich
P
(
X
≤
0
)
=
0.1192
P
(
1
≤
X
≤
4
)
=
0.6119
P
(
5
≤
X
)
=
0.0474
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccc}P(X\leq 0)&=&0.1192\\P(1\leq X\leq 4)&=&0.6119\\P(5\leq X)&=&0.0474\end{array}}}
Hat
X
{\textstyle X}
f
:
R
→
R
,
f
(
t
)
=
{
1
10
,
falls
t
∈
[
−
5
,
−
3
]
3
10
,
falls
t
∈
[
−
1
,
0
]
2
10
,
falls
t
∈
]
0
,
2
]
1
10
,
falls
t
∈
[
4
,
5
]
0
,
sonst
,
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {1}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [-5,-3]\\{\frac {3}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [-1,0]\\{\frac {2}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in ]0,2]\\{\frac {1}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [4,5]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.,}
X
{\textstyle X}
F
(
x
)
=
{
0
,
falls
x
∈
]
−
∞
,
−
5
]
1
10
x
+
1
2
,
falls
x
∈
[
−
5
,
−
3
]
2
10
,
falls
x
∈
[
−
3
,
−
1
]
3
10
x
+
5
10
,
falls
x
∈
[
−
1
,
0
]
2
10
x
+
5
10
,
falls
x
∈
[
0
,
2
]
9
10
,
falls
x
∈
[
2
,
4
]
1
10
x
+
5
10
,
falls
x
∈
[
4
,
5
]
1
,
falls
x
∈
[
5
,
∞
[
.
{\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}0&,&{\text{falls}}\ x\in ]-\infty ,-5]\\{\frac {1}{10}}x+{\frac {1}{2}}&,&{\text{falls}}\ x\in [-5,-3]\\{\frac {2}{10}}&,&{\text{falls}}\ x\in [-3,-1]\\{\frac {3}{10}}x+{\frac {5}{10}}&,&{\text{falls}}\ x\in [-1,0]\\{\frac {2}{10}}x+{\frac {5}{10}}&,&{\text{falls}}\ x\in [0,2]\\{\frac {9}{10}}&,&{\text{falls}}\ x\in [2,4]\\{\frac {1}{10}}x+{\frac {5}{10}}&,&{\text{falls}}\ x\in [4,5]\\1&,&{\text{falls}}\ x\in [5,\infty [\end{array}}\right..}
P
(
−
4
≤
X
≤
−
0.5
)
=
0.25
P
(
1
≤
X
≤
1.5
)
=
0.1
P
(
5
≤
X
≤
7
)
=
0
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccc}P(-4\leq X\leq -0.5)&=&0.25\\P(1\leq X\leq 1.5)&=&0.1\\P(5\leq X\leq 7)&=&0\end{array}}}
Gegeben sei die Dichtefunktion
f
:
R
→
R
,
f
(
t
)
=
{
t
5
−
t
2
+
t
1
31838454
,
falls
t
∈
[
6
;
24
]
0
,
sonst
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {t^{5}-t^{2}+t^{1}}{31838454}}&,&{\text{falls}}\ t\in [6;24]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}
P
(
X
≤
20
)
P
(
X
≥
50
)
P
(
5
≤
X
≤
25
)
P
(
X
=
17
)
{\displaystyle P(X\leq 20)\quad P(X\geq 50)\quad P(5\leq X\leq 25)\quad P(X=17)}
Erwartungswert und Standardabweichung einer stetigen ZV
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Ist
Z
{\textstyle Z}
f
{\textstyle f}
μ
=
μ
Z
=
E
(
Z
)
=
∫
−
∞
∞
t
⋅
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \mu =\mu _{Z}=E(Z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }t\cdot f(t)dt\quad }
Erwartungswert von
Z
{\textstyle \mathbf {Z} }
,
V
=
V
(
Z
)
=
∫
−
∞
∞
(
t
−
E
(
Z
)
)
2
⋅
f
(
t
)
d
t
=
∫
−
∞
∞
t
2
⋅
f
(
t
)
d
t
−
E
(
Z
)
2
{\displaystyle V=V(Z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }(t-E(Z))^{2}\cdot f(t)dt\ =\int \limits _{-\infty }^{\infty }t^{2}\cdot f(t)dt-E(Z)^{2}\quad }
Varianz von
Z
{\textstyle \mathbf {Z} }
und
σ
=
σ
Z
=
V
(
Z
)
{\textstyle \sigma =\sigma _{Z}={\sqrt {V(Z)}}}
Standardabweichung von
Z
{\textstyle \mathbf {Z} }
.(Theoretisch ist es möglich, dass diese Integrale den Wert
±
∞
{\textstyle \pm \infty }
Hat
X
{\textstyle X}
f
:
R
→
[
0
,
∞
[
,
f
(
t
)
=
{
20
t
3
−
t
4
160000
,
falls
t
∈
[
0
,
20
]
0
,
sonst
,
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {20t^{3}-t^{4}}{160000}}&,&{\text{falls}}\ t\in [0,20]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.,}
E
(
X
)
=
13.333
und
V
(
X
)
=
12.698
⇒
σ
X
=
3.563
{\displaystyle E(X)=13.333\quad {\text{und}}\quad V(X)=12.698\ \Rightarrow \ \sigma _{X}=3.563}
Hat
X
{\textstyle X}
f
:
R
→
[
0
,
∞
[
,
f
(
t
)
=
e
−
t
+
2
(
1
+
e
−
t
+
2
)
2
,
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)={\frac {e^{-t+2}}{\left(1+e^{-t+2}\right)^{2}}},}
E
(
X
)
=
2
und
V
(
X
)
=
π
2
3
=
3.288
⇒
σ
X
=
1.814
{\displaystyle E(X)=2\quad {\text{und}}\quad V(X)={\frac {\pi ^{2}}{3}}=3.288\ \Rightarrow \ \sigma _{X}=1.814}
Hat
X
{\textstyle X}
f
:
R
→
R
,
f
(
t
)
=
{
1
10
,
falls
t
∈
[
−
5
,
−
3
]
3
10
,
falls
t
∈
[
−
1
,
0
]
2
10
,
falls
t
∈
]
0
,
2
]
1
10
,
falls
t
∈
[
4
,
5
]
0
,
sonst
,
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {1}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [-5,-3]\\{\frac {3}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [-1,0]\\{\frac {2}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in ]0,2]\\{\frac {1}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [4,5]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.,}
E
(
X
)
=
−
0.1
und
V
(
X
)
=
5.9233
⇒
σ
X
=
2.434
{\displaystyle E(X)=-0.1\quad {\text{und}}\quad V(X)=5.9233\ \Rightarrow \ \sigma _{X}=2.434}
Begründen Sie, dass die Funktion
f
:
R
→
[
0
,
∞
[
,
f
(
t
)
=
{
3
⋅
−
t
2
+
8
t
−
12
32
,
falls
t
∈
[
2
,
6
]
0
,
sonst
{\displaystyle \quad f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}3\cdot {\frac {-t^{2}+8t-12}{32}}&,&{\text{falls}}\ t\in [2,6]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}
Z
{\displaystyle Z}
F
{\textstyle F}
P
(
Z
≤
3
)
,
P
(
3
<
Z
<
4
)
,
P
(
Z
≤
7
)
.
{\displaystyle P(Z\leq 3),\quad P(3<Z<4),\quad P(Z\leq 7).}
Z
{\textstyle Z}
Begründen Sie, dass die Funktion
f
:
R
→
[
0
,
∞
[
,
f
(
t
)
=
4
e
−
4
t
(
1
+
e
−
4
t
)
2
{\displaystyle \quad f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)={\frac {4e^{-4t}}{\left(1+e^{-4t}\right)^{2}}}}
Z
{\textstyle Z}
F
{\textstyle F}
P
(
Z
≤
0
)
,
P
(
Z
≥
0
)
,
P
(
−
2
≤
Z
≤
2
)
{\displaystyle P(Z\leq 0),\quad P(Z\geq 0),\quad P(-2\leq Z\leq 2)}
Für eine stetige ZV mit W-Dichte
f
{\textstyle f}
V
(
X
)
=
∫
−
∞
∞
t
2
⋅
f
(
t
)
d
t
−
E
(
X
)
2
{\displaystyle \quad V(X)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }t^{2}\cdot f(t)dt\ -\ E(X)^{2}}
Für eine ZV mit der Dichte
f
:
R
→
R
,
f
(
t
)
=
{
20
t
3
−
t
4
160000
,
falls
t
∈
[
0
,
20
]
0
,
sonst
{\displaystyle \quad f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {20t^{3}-t^{4}}{160000}}&,&{\text{falls}}\ t\in [0,20]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}
V
(
X
)
=
12.698
{\displaystyle V(X)=12.698}
Bestimmen Sie den Erwartungswert sowie die Varianz für die Dichtefunktion
f
:
R
→
R
,
f
(
t
)
=
{
t
5
−
t
2
+
t
1
31838454
,
falls
t
∈
[
6
;
24
]
0
,
sonst
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {t^{5}-t^{2}+t^{1}}{31838454}}&,&{\text{falls}}\ t\in [6;24]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}
Bearbeiten
Dieselben Rechenregeln, die für EW und Varianz von diskreten ZV gelten, gelten auch für stetige ZV, also:
Sind
X
,
Y
{\textstyle X,Y}
u
,
v
∈
R
{\textstyle u,v\in \mathbb {R} }
stets
stets
stets
E
(
u
⋅
X
+
v
)
=
u
⋅
E
(
X
)
+
v
V
(
u
⋅
X
+
v
)
=
u
2
⋅
V
(
X
)
σ
u
⋅
X
+
v
=
|
u
|
⋅
σ
X
stets
falls
X
,
Y
unabhängig
falls
X
,
Y
unabhängig
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
V
(
X
+
Y
)
=
V
(
X
)
+
V
(
Y
)
σ
X
+
Y
=
σ
X
2
+
σ
Y
2
stets
falls
X
,
Y
unabhängig
falls
X
,
Y
unabhängig
E
(
X
−
Y
)
=
E
(
X
)
−
E
(
Y
)
V
(
X
−
Y
)
=
V
(
X
)
+
V
(
Y
)
σ
X
−
Y
=
σ
X
2
+
σ
Y
2
falls
X
,
Y
unabhängig
E
(
X
⋅
Y
)
=
E
(
X
)
⋅
E
(
Y
)
{\displaystyle {\begin{array}{|l|l|l|}\hline {\text{stets}}&{\text{stets}}&{\text{stets}}\\E(u\cdot X+v)=u\cdot E(X)+v&V(u\cdot X+v)=u^{2}\cdot V(X)&\sigma _{u\cdot X+v}=|u|\cdot \sigma _{X}\\\hline {\text{stets}}&{\text{falls }}X,Y{\text{unabhängig}}&{\text{falls }}X,Y{\text{unabhängig}}\\E(X+Y)=E(X)+E(Y)&V(X+Y)=V(X)+V(Y)&\sigma _{X+Y}={\sqrt {{\sigma _{X}}^{2}+{\sigma _{Y}}^{2}}}\\\hline {\text{stets}}&{\text{falls }}X,Y{\text{unabhängig}}&{\text{falls }}X,Y{\text{unabhängig}}\\E(X-Y)=E(X)-E(Y)&V(X-Y)=V(X)+V(Y)&\sigma _{X-Y}={\sqrt {{\sigma _{X}}^{2}+{\sigma _{Y}}^{2}}}\\\hline {\text{falls}}X,Y{\text{unabhängig}}&&\\E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)&&\\\hline \end{array}}}
Sind
X
1
,
…
,
X
n
{\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
stets
falls
X
1
,
…
,
X
n
unabhängig
E
(
∑
j
=
1
n
X
j
)
=
∑
j
=
1
n
E
(
X
j
)
V
(
∑
j
=
1
n
X
j
)
=
∑
j
=
1
n
V
(
X
j
)
σ
X
1
+
…
+
X
n
=
σ
X
1
2
+
…
+
σ
X
n
2
{\displaystyle {\begin{array}{|l|rcl|}\hline {\text{stets}}&{\text{falls }}X_{1},\ldots ,X_{n}{\text{unabhängig}}&&\\E(\sum _{j=1}^{n}X_{j})=\sum _{j=1}^{n}E(X_{j})&V(\sum _{j=1}^{n}X_{j})&=&\sum _{j=1}^{n}V(X_{j})\\&\sigma _{X_{1}+\ldots +X_{n}}&=&{\sqrt {{\sigma _{X_{1}}}^{2}+\ldots +{\sigma _{X_{n}}}^{2}}}\\\hline \end{array}}}
Modellierung von ZV mittels Dichtefunktion I
Bearbeiten
Stetige ZV dienen (ebenso wie diskrete ZV) zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeiten bei einem ZE. (Diese Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auf zukünftige Durchführungen des ZE.)
Verwendet man bei einem ZE zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten eine ganz bestimmte W-Dichte, so handelt es sich dabei lediglich um ein Modell für die vorliegende (vom Zufall beeinflusste) Situation. Man kann dann aber innerhalb des Modells (also mit gegebener Dichtefunktion) weiterarbeiten und z.B. bestimmte Wahrscheinlichkeiten oder Erwartungswert und Varianz berechnen.
Modellierung von ZV mittels Dichtefunktion II
Bearbeiten
Die wahre Dichtefunktion einer ZV ist im Allgemeinen nicht bekannt.
Ein zentrales Ziel in der schließenden Statistik ist es, Methoden zu entwickeln, mit denen man anhand von vorliegenden Daten (d.h. einer Stichprobe für die ZV) das vorliegende Modell (also eine für dieses ZE geeignete W-Dichte) entwickeln, ergänzen (z.B durch Parameterschätzungen) oder überprüfen (z.B. mit einem Hypothesentest) kann.
Ein Linienbus fährt alle
20
{\textstyle 20}
Z
{\textstyle Z}
f
:
R
→
[
0
,
∞
[
,
f
(
t
)
=
{
0.05
,
falls
t
∈
[
0
,
20
]
0
,
sonst
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}0.05&,&{\text{falls}}\ t\in [0,20]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}
Demnach ergibt sich beispielsweise:
P
(
Z
≤
8
)
=
0.4
,
P
(
6
≤
Z
≤
7
)
=
0.05
,
{\displaystyle P(Z\leq 8)=0.4,\quad P(6\leq Z\leq 7)=0.05,\quad }
P
(
8
≤
Z
≤
14
)
=
0.3
,
P
(
25
≤
Z
)
=
0
{\displaystyle P(8\leq Z\leq 14)=0.3,\quad P(25\leq Z)=0}
E
(
Z
)
=
10
und
σ
Z
=
5.774
{\textstyle \;\;\;E(Z)=10\quad {\text{und}}\quad \sigma _{Z}=5.774}
Bearbeiten
Folgende ZV könnten mit einer geeigneten Dichtefunktion modelliert werden:
Die Größe einer zufällig ausgewählten erwachsenen Frau in Mitteleuropa.
Die Größe eines zufällig ausgewählten 10-jährigen Jungens in Mitteleuropa.
Das Gewicht eines Hühnereis auf einem Bauernhof.
Die Dauer eines Telefonats zwischen zwei bestimmten Personen
A
{\textstyle A}
B
{\textstyle B}
Bearbeiten
Das Gewicht eines ausgewachsenen afrikanischen Elefanten.
Die Brenndauer einer Glühbirne.
Der Messfehler bei einer Zeitnahme beim 100-Meter Lauf.
Die Temperatur morgen früh um 8:00 Uhr in Landau.
Die Temperatur am Tag in vier Wochen um 8:00 Uhr in Landau.
usw.
Überlegen Sie sich zu obigen Beispielen, wie eine Dichtefunktion in etwa aussehen könnte. Erstellen Sie jeweils eine Skizze. (Eine Funktionsgleichung kann nicht ohne weiteres angegeben werden.)
Zusammenhang zwischen Histogrammen und der W-Dichte von
f
{\textstyle f}
1
{\textstyle 1}
1
{\textstyle 1}
t
{\textstyle t}
X
{\textstyle X}
1
{\textstyle 1}
Beobachtung: Bei einer sehr hohen Versuchszahl n und sehr kleinen Klassenbreiten nähert sich das Histogramm mit hoher Wahrscheinlichkeit der W-Dichte an.
Für praktische Anwendungen werden häufig bestimmte Typen stetiger ZV als Modell verwendet. Dazu gehören (unter anderem) gleich-, exponential- und normalverteilte ZV. Diese Verteilungsarten (und ihre Eigenschaften) sollen hier kurz vorgestellt werden. Außerdem soll die besondere Bedeutung der Normalverteilung (im Zusammenhang mit dem Zentralen Grenzverteilungssatz) erklärt werden.
![{\textstyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c780cbaafb5b1d4a6912aa65d2b0b1982097108)
![{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {20t^{3}-t^{4}}{160000}}&,&{\text{falls}}\ t\in [0,20]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844e51c24fdb4f136c95c5bc3f43608c2245ed4c)
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t+2}}{\left(1+e^{-t+2}\right)^{2}}}dt=\left[{\frac {1}{1+e^{-t+2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }=\lim \limits _{t\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-t+2}}}-\lim \limits _{t\to -\infty }{\frac {1}{1+e^{-t+2}}}=1-0=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be865788b22f11c5fdd38ee2e94f8b44982240e9)
![{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {1}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [-5,-3]\\{\frac {3}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [-1,0]\\{\frac {2}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in ]0,2]\\{\frac {1}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [4,5]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0d79bc092e053a756328bbd137c4266215b825)
![{\displaystyle [-5,-3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648cb6a54c166bf3e00be2dbdd92e5ec7af63216)
![{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {20t^{3}-t^{4}}{160000}}&,&{\text{falls}}\ t\in [0,20]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38af073e25f455a41313de81f6a487b10ae30384)
![{\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}0&,&{\text{falls}}\ x\in ]-\infty ,0[\\{\frac {5\cdot x^{4}-{\frac {1}{5}}\cdot x^{5}}{160000}}&,&{\text{falls}}\ x\in [0,20]\\1&,&{\text{falls}}\ x\in ]20,\infty [\end{array}}\right.,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47bb709d13f3edffcf81fdcf7942664a5fa10a8d)
![{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {1}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [-5,-3]\\{\frac {3}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [-1,0]\\{\frac {2}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in ]0,2]\\{\frac {1}{10}}&,&{\text{falls}}\ t\in [4,5]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d1016aeb9ad0a9561411bf2c0c620d06d397c8)
![{\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}0&,&{\text{falls}}\ x\in ]-\infty ,-5]\\{\frac {1}{10}}x+{\frac {1}{2}}&,&{\text{falls}}\ x\in [-5,-3]\\{\frac {2}{10}}&,&{\text{falls}}\ x\in [-3,-1]\\{\frac {3}{10}}x+{\frac {5}{10}}&,&{\text{falls}}\ x\in [-1,0]\\{\frac {2}{10}}x+{\frac {5}{10}}&,&{\text{falls}}\ x\in [0,2]\\{\frac {9}{10}}&,&{\text{falls}}\ x\in [2,4]\\{\frac {1}{10}}x+{\frac {5}{10}}&,&{\text{falls}}\ x\in [4,5]\\1&,&{\text{falls}}\ x\in [5,\infty [\end{array}}\right..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d564a4ea311e7be29317cd11658ed8735601966)
![{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {t^{5}-t^{2}+t^{1}}{31838454}}&,&{\text{falls}}\ t\in [6;24]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea81418baa61db180029e7384d98bf986e2c26b0)
![{\displaystyle \quad f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}3\cdot {\frac {-t^{2}+8t-12}{32}}&,&{\text{falls}}\ t\in [2,6]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939ed6d381d1333c6bd16918dc3a631db25f52f3)
![{\displaystyle \quad f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {20t^{3}-t^{4}}{160000}}&,&{\text{falls}}\ t\in [0,20]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6a20e69e4c7d359a9f516efe4fdedb7a66fa8c)
![{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty [,\ f(t)=\left\{{\begin{array}{ccl}0.05&,&{\text{falls}}\ t\in [0,20]\\0&,&{\text{sonst}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e16554a0c87a29b186ede03d5a3889b026a1b77)
