Erwartungswert einer ZV
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Wir betrachten eine (diskrete) ZV
X
{\textstyle X}
mögl. Wert
x
1
x
2
…
x
m
gesamt
Wahrsch.
P
(
X
=
x
1
)
=
w
1
P
(
X
=
x
2
)
=
w
2
…
P
(
X
=
x
m
)
=
w
m
w
1
+
w
2
+
…
+
w
m
=
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline {\text{mögl. Wert}}&x_{1}&x_{2}&\ldots &x_{m}&{\text{gesamt}}\\\hline {\text{Wahrsch.}}&P(X=x_{1})=w_{1}&P(X=x_{2})=w_{2}&\ldots &P(X=x_{m})=w_{m}&w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{m}=1\\\hline \end{array}}}
Der Erwartungswert der ZV
X
{\textstyle X}
E
(
X
)
=
x
1
⋅
w
1
+
x
2
⋅
w
2
+
…
+
x
m
⋅
w
m
{\displaystyle E(X)=x_{1}\cdot w_{1}+x_{2}\cdot w_{2}+\ldots +x_{m}\cdot w_{m}}
Durchführung des zugehörigen Zufallsexperiments und Mittelwert
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Führt man das zugehörige ZE
n
{\textstyle n}
Wert
x
1
x
2
…
x
m
gesamt
abs. Häuf.
h
(
x
1
)
=
h
1
h
(
x
2
)
=
h
2
…
h
(
x
m
)
=
h
m
h
1
+
h
2
+
…
+
h
m
=
n
rel. Häuf.
r
(
x
1
)
=
h
1
n
r
(
x
2
)
=
h
2
n
…
r
(
x
m
)
=
h
m
n
r
1
+
r
2
+
…
+
r
m
=
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline {\text{Wert}}&x_{1}&x_{2}&\ldots &x_{m}&{\text{gesamt}}\\\hline {\text{abs. Häuf.}}&h(x_{1})=h_{1}&h(x_{2})=h_{2}&\ldots &h(x_{m})=h_{m}&h_{1}+h_{2}+\ldots +h_{m}=n\\\hline {\text{rel. Häuf.}}&r(x_{1})={\frac {h_{1}}{n}}&r(x_{2})={\frac {h_{2}}{n}}&\ldots &r(x_{m})={\frac {h_{m}}{n}}&r_{1}+r_{2}+\ldots +r_{m}=1\\\hline \end{array}}}
Der arithmetischen Mittelwert des Merkmals
X
{\textstyle X}
X
¯
=
x
1
⋅
r
1
+
x
2
⋅
r
2
+
…
+
x
m
⋅
r
m
{\displaystyle {\overline {X}}=x_{1}\cdot r_{1}+x_{2}\cdot r_{2}+\ldots +x_{m}\cdot r_{m}}
Vergleich Erwartungswert und Arithmetisches Mittel
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Allerdings stimmen die relativen Häufigkeiten
r
k
{\textstyle r_{k}}
w
k
{\textstyle w_{k}}
X
¯
≠
E
(
X
)
{\textstyle {\overline {X}}\not =E(X)}
Die relative Häufigkeit
h
(
a
k
)
n
{\textstyle {\frac {h(a_{k})}{n}}}
ist eine Schätzung für die Wahrscheinlichkeit
P
(
X
=
a
k
)
{\textstyle P(X=a_{k})}
Der arithmetische Mittelwert
x
¯
{\textstyle {\overline {x}}}
ist eine Schätzung für den EW
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
Die empirische Varianz
s
x
2
{\textstyle {s_{x}}^{2}}
ist eine Schätzung für die Varianz
V
(
X
)
{\textstyle V(X)}
Es ist wichtig, eine Unterscheidung zwischen
P
(
X
=
a
k
)
{\textstyle P(X=a_{k})}
r
(
a
k
)
{\textstyle r(a_{k})}
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
x
¯
{\textstyle {\overline {x}}}
V
(
X
)
{\textstyle V(X)}
s
x
2
{\textstyle {s_{x}}^{2}}
P
(
X
=
a
k
)
,
E
(
X
)
{\textstyle P(X=a_{k}),\ E(X)}
σ
X
{\textstyle \sigma _{X}}
X
{\textstyle X}
h
(
a
k
)
,
x
¯
{\textstyle h(a_{k}),\ {\overline {x}}}
s
x
{\textstyle s_{x}}
h
(
a
k
)
,
x
¯
{\textstyle h(a_{k}),\ {\overline {x}}}
s
x
{\textstyle s_{x}}
Zwei unterschiedliche Betrachtungsweisen
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Es gibt nun zwei typische Situationen, die völlig unterschiedliche Blickwinkel bieten:
Betrachtungsweise 1: Mögliche Werte und Wahrscheinlichkeiten sind bekannt
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Die möglichen Werte und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind bekannt. Man kann dann einfach
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
X
¯
{\textstyle {\overline {X}}}
Beim Würfelwurf sind die Werte
1
,
…
,
6
{\textstyle 1,\ldots ,6}
1
6
{\textstyle {\frac {1}{6}}}
E
(
X
)
=
3.5
{\textstyle E(X)=3.5}
k
1
2
3
4
5
6
gesamt
h
k
h
(
1
)
=
5
h
(
2
)
=
1
h
(
3
)
=
4
h
(
4
)
=
4
h
(
5
)
=
2
h
(
6
)
=
4
n
=
20
r
k
r
(
1
)
=
0.25
r
(
2
)
=
0.05
r
(
3
)
=
0.2
r
(
4
)
=
0.2
r
(
5
)
=
0.1
r
(
6
)
=
0.2
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline k&1&2&3&4&5&6&{\text{gesamt}}\\\hline h_{k}&h(1)=5&h(2)=1&h(3)=4&h(4)=4&h(5)=2&h(6)=4&n=20\\\hline r_{k}&r(1)=0.25&r(2)=0.05&r(3)=0.2&r(4)=0.2&r(5)=0.1&r(6)=0.2&1\\\hline \end{array}}}
Daraus lässt sich
X
¯
=
0.25
⋅
1
+
0.05
⋅
2
+
0.2
⋅
3
+
0.2
⋅
4
+
0.1
⋅
5
+
0.2
⋅
6
=
3.45
{\displaystyle {\overline {X}}=0.25\cdot 1+0.05\cdot 2+0.2\cdot 3+0.2\cdot 4+0.1\cdot 5+0.2\cdot 6=3.45}
X
¯
{\textstyle {\overline {X}}}
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
X
¯
=
1
{\textstyle {\overline {X}}=1}
X
¯
=
6
{\textstyle {\overline {X}}=6}
Betrachtungsweise 2: Mögliche Werte und Wahrscheinlichkeiten sind unbekannt
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Man kennt die möglichen Werte und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten nicht, möchte aber gerne etwas über
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
X
¯
{\textstyle {\overline {X}}}
Schätzwert für
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
In einer Lostrommel befinden sich viele Kugeln mit Zahlen darauf. Sie wissen nicht, welche Zahlen daraufstehen und mit welcher Häufigkeit sie vertreten sind. Bei
50
{\textstyle 50}
k
0
1
2
3
4
7
11
gesamt
h
k
17
15
9
5
2
1
1
n
=
50
r
k
0.34
0.3
0.18
0.1
0.04
0.02
0.02
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline k&0&1&2&3&4&7&11&{\text{gesamt}}\\\hline h_{k}&17&15&9&5&2&1&1&n=50\\\hline r_{k}&0.34&0.3&0.18&0.1&0.04&0.02&0.02&1\\\hline \end{array}}}
Daraus berechnen Sie
X
¯
=
1.48
{\displaystyle {\overline {X}}=1.48}
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
Man interessiert sich für den Erwartungswert der Zufallsvariable
Z
{\textstyle Z}
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
…
gesamt
h
k
8
17
31
26
6
4
3
2
1
1
0
1
0
100
r
k
0.08
0.17
0.31
0.26
0.06
0.04
0.03
0.02
0.01
0.01
0
0.01
0
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&\ldots &{\text{gesamt}}\\\hline h_{k}&8&17&31&26&6&4&3&2&1&1&0&1&0&100\\\hline r_{k}&0.08&0.17&0.31&0.26&0.06&0.04&0.03&0.02&0.01&0.01&0&0.01&0&1\\\hline \end{array}}}
Anmerkung: Wahrscheinlichkeiten sind unbekannt, können durch relative Häufigkeit geschätzt werden.
Daraus ergibt sich der artithmetische Mittelwert der Stichprobe:
X
¯
=
3.61
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {X}}=3.61\end{aligned}}}
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
X
¯
{\textstyle {\overline {X}}}
Erwartungstreue, Varianzbetrachtung und Konsistenz obiger Schätzungen
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Sei
X
{\textstyle X}
a
1
,
…
,
a
m
{\textstyle a_{1},\ldots ,a_{m}}
p
k
=
P
(
X
=
a
k
)
(
k
=
1
,
…
,
m
)
{\textstyle p_{k}=P(X=a_{k})\ (k=1,\ldots ,m)}
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
V
(
X
)
{\textstyle V(X)}
Weiterhin seien
X
1
,
…
,
X
m
{\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}
X
{\textstyle X}
X
{\textstyle X}
H
n
k
=
#
{
j
∈
{
1
,
…
,
n
}
;
X
j
=
a
k
}
(
k
=
1
,
…
,
m
)
M
n
=
1
n
⋅
∑
j
=
1
n
X
j
V
n
=
1
n
−
1
⋅
∑
j
=
1
n
(
X
j
−
M
n
)
2
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}H_{n}^{k}&=&\#\{j\in \{1,\ldots ,n\};\ X_{j}=a_{k}\}\quad (k=1,\ldots ,m)\\M_{n}&=&{\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{j=1}^{n}X_{j}\\V_{n}&=&{\frac {1}{n-1}}\cdot \sum \limits _{j=1}^{n}\left(X_{j}-M_{n}\right)^{2}\end{array}}}
Die Schätzung von
p
k
=
P
(
X
=
a
k
)
{\textstyle p_{k}=P(X=a_{k})}
H
n
k
n
{\textstyle {\frac {H_{n}^{k}}{n}}}
ist erwartungstreu, das heißt, es gilt:
E
(
H
n
k
n
)
=
p
k
{\textstyle \quad E\left({\frac {H_{n}^{k}}{n}}\right)=p_{k}}
hat eine gegen
0
{\textstyle 0}
V
(
H
n
k
n
)
⟶
n
→
∞
0
{\textstyle \quad V\left({\frac {H_{n}^{k}}{n}}\right){\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}0}
ist konsistent, d.h. für alle
c
>
0
{\textstyle c>0}
P
(
|
H
n
k
n
−
p
k
|
<
c
)
⟶
n
→
∞
1
{\textstyle \quad P\left(\left|{\frac {H_{n}^{k}}{n}}-p_{k}\right|<c\right){\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}1}
Die Schätzung von
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
M
n
{\textstyle M_{n}}
ist erwartungstreu, das heißt, es gilt:
E
(
M
n
)
=
E
(
X
)
{\textstyle \quad E(M_{n})=E(X)}
hat eine gegen
0
{\textstyle 0}
V
(
M
n
)
⟶
n
→
∞
0
{\textstyle \quad V(M_{n}){\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}0}
ist konsistent, d.h. für alle
c
>
0
{\textstyle c>0}
P
(
|
M
n
−
E
(
X
)
|
<
c
)
⟶
n
→
∞
1
{\textstyle \quad P\left(\left|M_{n}-E(X)\right|<c\right){\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}1}
Die Schätzung von
V
(
X
)
{\textstyle V(X)}
V
n
{\textstyle V_{n}}
ist erwartungstreu, das heißt, es gilt:
E
(
V
n
)
=
V
(
X
)
{\textstyle \quad E(V_{n})=V(X)}
hat eine gegen
0
{\textstyle 0}
V
(
V
n
)
⟶
n
→
∞
0
{\textstyle \quad V(V_{n}){\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}0}
ist konsistent, d.h. für alle
c
>
0
{\textstyle c>0}
P
(
|
V
n
−
V
(
X
)
|
<
c
)
⟶
n
→
∞
1
{\textstyle \quad P\left(\left|V_{n}-V(X)\right|<c\right){\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}1}
Wir betrachten eine ZV
X
{\textstyle X}
0
,
3
,
9
,
12
{\textstyle 0,3,9,12}
P
(
X
=
0
)
=
0.1
P
(
X
=
3
)
=
0.2
P
(
X
=
9
)
=
0.3
P
(
X
=
12
)
=
0.4
{\displaystyle P(X=0)=0.1\quad P(X=3)=0.2\quad P(X=9)=0.3\quad P(X=12)=0.4}
X
{\textstyle X}
E
(
X
)
=
8.1
und
{\displaystyle E(X)=8.1\quad {\text{und}}}
V
(
X
)
=
18.09
{\displaystyle V(X)=18.09}
Eine Person, die die oben angegebenen Wahrscheinlichkeiten nicht kennt, will Schätzungen für
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
V
(
X
)
{\textstyle V(X)}
n
=
3
{\textstyle n=3}
x
¯
{\textstyle {\overline {x}}}
s
x
2
{\textstyle {s_{x}}^{2}}
x
1
,
x
2
,
x
3
{\textstyle x_{1},x_{2},x_{3}}
64
{\textstyle 64}
x
¯
{\textstyle {\overline {x}}}
s
x
2
{\textstyle {s_{x}}^{2}}
mögliche Stichprobe
Wahrscheinlichkeit
ergibt
ergibt
(
x
1
,
x
2
,
X
x
3
)
zusammen
x
¯
=
s
x
2
=
(
0
,
0
,
0
)
0.001
0
0
(
3
,
3
,
3
)
0.008
3
0
(
9
,
9
,
9
)
0.027
9
0
(
12
,
12
,
12
)
0.064
12
0
(
0
,
0
,
3
)
,
(
0
,
3
,
0
)
,
(
3
,
0
,
0
)
0.006
1
3
(
0
,
0
,
9
)
,
(
0
,
9
,
0
)
,
(
9
,
0
,
0
)
0.009
3
27
(
0
,
0
,
12
)
,
(
0
,
12
,
0
)
,
(
12
,
0
,
0
)
0.012
4
48
(
3
,
3
,
0
)
,
(
3
,
0
,
3
)
,
(
0
,
3
,
3
)
0.012
2
3
(
3
,
3
,
9
)
,
(
3
,
9
,
3
)
,
(
9
,
3
,
3
)
0.036
5
12
(
3
,
3
,
12
)
,
(
3
,
12
,
3
)
,
(
12
,
3
,
3
)
0.048
6
27
(
9
,
9
,
0
)
,
(
9
,
0
,
9
)
,
(
0
,
9
,
9
)
0.027
6
27
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{mögliche Stichprobe}}&{\text{Wahrscheinlichkeit}}&{\text{ergibt}}&{\text{ergibt}}\\(x_{1},x_{2},Xx_{3})&{\text{zusammen}}&{\overline {x}}=&{s_{x}}^{2}=\\\hline (0,0,0)&0.001&0&0\\\hline (3,3,3)&0.008&3&0\\\hline (9,9,9)&0.027&9&0\\\hline (12,12,12)&0.064&12&0\\\hline (0,0,3),(0,3,0),(3,0,0)&0.006&1&3\\\hline (0,0,9),(0,9,0),(9,0,0)&0.009&3&27\\\hline (0,0,12),(0,12,0),(12,0,0)&0.012&4&48\\\hline (3,3,0),(3,0,3),(0,3,3)&0.012&2&3\\\hline (3,3,9),(3,9,3),(9,3,3)&0.036&5&12\\\hline (3,3,12),(3,12,3),(12,3,3)&0.048&6&27\\\hline (9,9,0),(9,0,9),(0,9,9)&0.027&6&27\\\hline \end{array}}}
mögliche Stichprobe
Wahrscheinlichkeit
ergibt
ergibt
(
x
1
,
x
2
,
X
x
3
)
zusammen
x
¯
=
s
x
2
=
(
9
,
9
,
3
)
,
(
9
,
3
,
9
)
,
(
3
,
9
,
9
)
0.054
7
12
(
9
,
9
,
12
)
,
(
9
,
12
,
9
)
,
(
12
,
9
,
9
)
0.108
10
3
(
12
,
12
,
0
)
,
(
12
,
0
,
12
)
,
(
0
,
12
,
12
)
0.048
8
48
(
12
,
12
,
3
)
,
(
12
,
3
,
12
)
,
(
3
,
12
,
12
)
0.096
9
27
(
12
,
12
,
9
)
,
(
12
,
9
,
12
)
,
(
9
,
12
,
12
)
0.144
11
3
(
0
,
3
,
9
)
,
(
0
,
9
,
3
)
,
(
3
,
0
,
9
)
,
(
3
,
9
,
0
)
,
(
9
,
0
,
3
)
,
(
9
,
3
,
0
)
0.036
4
21
(
0
,
3
,
12
)
,
(
0
,
12
,
3
)
,
(
3
,
0
,
12
)
,
(
3
,
12
,
0
)
,
(
12
,
0
,
3
)
,
(
12
,
3
,
0
)
0.048
5
39
(
0
,
9
,
12
)
,
(
0
,
12
,
9
)
,
(
9
,
0
,
12
)
,
(
9
,
12
,
0
)
,
(
12
,
0
,
9
)
,
(
12
,
9
,
0
)
0.072
7
39
(
3
,
9
,
12
)
,
(
3
,
12
,
9
)
,
(
9
,
3
,
12
)
,
(
9
,
12
,
3
)
,
(
12
,
3
,
9
)
,
(
12
,
9
,
3
)
0.144
8
21
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{mögliche Stichprobe}}&{\text{Wahrscheinlichkeit}}&{\text{ergibt}}&{\text{ergibt}}\\(x_{1},x_{2},Xx_{3})&{\text{zusammen}}&{\overline {x}}=&{s_{x}}^{2}=\\\hline (9,9,3),(9,3,9),(3,9,9)&0.054&7&12\\\hline (9,9,12),(9,12,9),(12,9,9)&0.108&10&3\\\hline (12,12,0),(12,0,12),(0,12,12)&0.048&8&48\\\hline (12,12,3),(12,3,12),(3,12,12)&0.096&9&27\\\hline (12,12,9),(12,9,12),(9,12,12)&0.144&11&3\\\hline (0,3,9),(0,9,3),(3,0,9),(3,9,0),(9,0,3),(9,3,0)&0.036&4&21\\\hline (0,3,12),(0,12,3),(3,0,12),(3,12,0),(12,0,3),(12,3,0)&0.048&5&39\\\hline (0,9,12),(0,12,9),(9,0,12),(9,12,0),(12,0,9),(12,9,0)&0.072&7&39\\\hline (3,9,12),(3,12,9),(9,3,12),(9,12,3),(12,3,9),(12,9,3)&0.144&8&21\\\hline \end{array}}}
Fasst man
x
¯
=
^
M
n
{\textstyle {\overline {x}}\;{\hat {=}}\;M_{n}}
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P
(
M
n
=
A
)
0.001
0.006
0.012
0.017
0.048
0.084
0.075
0.126
0.192
0.123
0.108
0.144
0.064
{\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline P\left(M_{n}=A\right)&0.001&0.006&0.012&0.017&0.048&0.084&0.075&0.126&0.192&0.123&0.108&0.144&0.064\\\hline \end{array}}}
E
(
M
n
)
=
8.1
=
E
(
X
)
{\displaystyle {\begin{aligned}E(M_{n})&=&8.1\quad =E(X)\end{aligned}}}
Fasst man
s
x
2
=
^
V
n
{\textstyle s_{x}^{2}\;{\hat {=}}\;V_{n}}
a
0
3
12
21
27
39
48
P
(
V
n
=
a
)
0.100
0.270
0.090
0.180
0.180
0.120
0.060
{\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&0&3&12&21&27&39&48\\\hline P\left(V_{n}=a\right)&0.100&0.270&0.090&0.180&0.180&0.120&0.060\\\hline \end{array}}}
E
(
V
n
)
=
18.08
=
V
(
X
)
{\displaystyle {\begin{aligned}E(V_{n})&=&18.08\quad =V(X)\end{aligned}}}
Damit haben wir die Erwartungstreue der beiden Schätzungen für diese spezielle ZV
X
{\textstyle X}
