Kurs:Statistik für Anwender/Vergleich von Erwartungswert und arithmetischem Mittelwert

Vergleich von Erwartungswert und arithmetischem Mittelwert

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Erwartungswert einer ZV

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Wir betrachten eine (diskrete) ZV  , mit ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung:
 

Der Erwartungswert der ZV   ergibt sich dann als:
 

Durchführung des zugehörigen Zufallsexperiments und Mittelwert

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Führt man das zugehörige ZE  -mal durch, so erhält man eine Stichprobe mit absoluten und relativen Häufigkeiten:
 

Der arithmetischen Mittelwert des Merkmals   ergibt sich dann als:
 

Vergleich Erwartungswert und Arithmetisches Mittel

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Allerdings stimmen die relativen Häufigkeiten   (normalerweise) nicht exakt mit den Wahrscheinlichkeiten   überein und folglich ist (normalerweise)  .
Folgendes ist erkennbar:

  • Die relative Häufigkeit   ist eine Schätzung für die Wahrscheinlichkeit  .
  • Der arithmetische Mittelwert   ist eine Schätzung für den EW   der ZV.
  • Die empirische Varianz   ist eine Schätzung für die Varianz   der ZV.

Unterschiede

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Es ist wichtig, eine Unterscheidung zwischen   und   bzw. zwischen   und   bzw. zwischen   und   vorzunehmen. Zu beachten ist dabei:

  •   und   sind der ZV   zugeordnet. Sie sind durch das Zufallsexperiment eindeutig festgelegt und hängen nicht von der Stichprobe ab. Leider sind sie in vielen in der Praxis relevanten Situationen nicht bekannt.
  •   und   sind der Stichprobe zugeordnet. Sie können aus ihr leicht berechnet werden und sind somit bekannt. Allerdings hängen Sie (wie auch die Stichprobe) vom Zufall ab. Erhebt man eine neue Stichprobe, so erhält man andere Werte für   und  .

Zwei unterschiedliche Betrachtungsweisen

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Es gibt nun zwei typische Situationen, die völlig unterschiedliche Blickwinkel bieten:

Betrachtungsweise 1: Mögliche Werte und Wahrscheinlichkeiten sind bekannt

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Die möglichen Werte und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind bekannt. Man kann dann einfach   berechnen, die Erhebung einer Stichprobe und die Bestimmung des arithmetischen Mittelwerts   sind zwar möglich, bringen aber nichts ein.

Beispiel 1

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Beim Würfelwurf sind die Werte   möglich (alle mit Wahrscheinlichkeit  ) und daraus bestimmt man  . Man könnte nun mehrmals werfen und erhält (zum Beispiel) die folgenden Häufigkeiten:

 

Daraus lässt sich   bestimmen. Dabei liegt   nahe bei  . Dies ist wahrscheinlich, muss aber nicht so sein (im Extremfall wäre auch   oder   möglich gewesen).

Betrachtungsweise 2: Mögliche Werte und Wahrscheinlichkeiten sind unbekannt

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Man kennt die möglichen Werte und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten nicht, möchte aber gerne etwas über   wissen. Daher erhebt man eine Stichprobe. Dann kann man   als Schätzwert für   nehmen. Man weiß dann aber im konkreten Fall nicht, wie gut diese Schätzung ist. In der schließenden Statistik (siehe Vorlesung ’Statistik für Anwender II’) untersucht man Methoden zur Beurteilung solcher Schätzungen.

Beispiel 2

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In einer Lostrommel befinden sich viele Kugeln mit Zahlen darauf. Sie wissen nicht, welche Zahlen daraufstehen und mit welcher Häufigkeit sie vertreten sind. Bei  -maligem Ziehen erhalten Sie die folgenden absoluten Häufigkeiten:

 

Daraus berechnen Sie
 
und können dies als Schätzwert für   nehmen.

Beispiel 3.1

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Man interessiert sich für den Erwartungswert der Zufallsvariable  , die die Anzahl der Jungtiere in einem Wurf einer Katze. Da man die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Anzahlen nicht kennt, kann man diesen Erwatungswert nicht ausrechnen. Man hat daher nur die Möglichkeit, ihn mit Hilfe des Erwartungswerts einer Stichprobe zu schätzen.
Beispielsweise erhebt man die folgende Stichprobe:
 

Beispiel 3.2

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Anmerkung: Wahrscheinlichkeiten sind unbekannt, können durch relative Häufigkeit geschätzt werden.

Daraus ergibt sich der artithmetische Mittelwert der Stichprobe:
 
Der Erwartungswert   ist aber unbekannt, kann aber durch   geschätzt werden.

Erwartungstreue, Varianzbetrachtung und Konsistenz obiger Schätzungen

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Sei   eine endliche ZV, die die Werte   mit den Wahrscheinlichkeiten   annehmen kann und EW   und Varianz   hat.

Weiterhin seien   unabhängige ZV, die identisch wie   verteilt sind (d.h. sie haben alle diesselbe W-Funktion wie  ). Wir betrachten außerdem die ZV:
 

Schätzung von p

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Die Schätzung von   durch  

  • ist erwartungstreu, das heißt, es gilt:  
  • hat eine gegen   konvergierende Varianz, also:  
  • ist konsistent, d.h. für alle   ist:  

Schätzung von E

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Die Schätzung von   durch  

  • ist erwartungstreu, das heißt, es gilt:  
  • hat eine gegen   konvergierende Varianz, also:  
  • ist konsistent, d.h. für alle   ist:  

Schätzung von V

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Die Schätzung von   durch  

  • ist erwartungstreu, das heißt, es gilt:  
  • hat eine gegen   konvergierende Varianz, also:  
  • ist konsistent, d.h. für alle   ist:  

Beispiel 4.1

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Wir betrachten eine ZV   mit den folgenden möglichen Werten   und den folgenden dazugeörenden Wahrscheinlichkeiten:   Daraus berechnet man EW und Varianz von   durch:  
 

Beispiel 4.2

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Eine Person, die die oben angegebenen Wahrscheinlichkeiten nicht kennt, will Schätzungen für   und   vornehmen. Dazu führt sie eine Stichprobe der Länge   durch und berechnet daraus   und  . Für die Stichprobe   gibt es   Möglichkeiten. Diese haben bestimmte Wahrscheinlichkeiten und führen zu verschiedenen Werten für   und  .

Beispiel 4.3

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Beispiel 4.4

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Beispiel 4.5

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Fasst man   als ZV auf, so kann diese also die folgenden Werte mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten annehmen:  
Daraus ergibt sich
 

Beispiel 4.6

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Fasst man   als ZV auf, so kann diese also die folgenden Werte mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten annehmen:   Daraus ergibt sich
 

Damit haben wir die Erwartungstreue der beiden Schätzungen für diese spezielle ZV   nachgerechnet.

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