Kurs:Statistik für Anwender/Verknüpfung diskreter Zufallsvariablen

Verknüpfung diskreter ZV

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Sei   ein W-Raum,   ZV auf   und  . Dann erhält man weitere ZV auf   durch
           

Gemeinsame Verteilung zweier endlicher ZV und Unabhängigkeit

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(Gemeinsame W-Funktion zweier endlicher ZV)
Gegeben seien zwei endliche ZV   wobei  die Werte   und  die Werte   annehmen kann.

Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion

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Die Funktion
 
heißt gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von   und   Man kann sie übersichtlich in Form einer Tabelle darstellen, wobei die möglichen Werte   für   zu den einzelnen Spalten und die möglichen Werte   für   zu den einzelnen Zeilen gehören. In die Spalte zu   und die Zeile zu   trägt man dann die Wahrscheinlichkeit   ein.

Beispiel 1

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Zwei Laplace-Würfel werden geworfen. Die ZV   gibt die Zahl auf dem ersten und die ZV   gibt die Zahl auf dem zweiten Würfel an. Die gemeinsame W-Funktion sieht wie folgt aus:  

Beispiel 2.1

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Ein Laplace-Würfel, bei dem sich die Augenzahlen   und  , sowie   und   sowie   und   gegenüberliegen, wird geworfen. Die ZV   gibt die Zahl auf der Oberseite und die ZV   gibt die Zahl auf der Unterseite des Würfels an.

Beispiel 2.2

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Die gemeinsame W-Funktion sieht wie folgt aus:  

Beispiel 3.1

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Ein Laplace-Würfel, bei dem sich die Augenzahlen   und  , sowie   und   sowie   und   gegenüberliegen, wird geworfen. Die ZV   gibt die Zahl auf der Oberseite und die ZV   gibt die Zahl auf der Vorderseite des Würfels an.

Beispiel 3.2

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Die gemeinsame W-Funktion sieht wie folgt aus:  

Spalten- und Zeilensummen

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Es gilt stets:
 

Unabhängigkeit

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Definitionsgemäß sind   und   unabhängig voneinander, falls für alle   und alle   die Ereignisse   und   stochastisch unabhängig voneinander sind, das heißt, falls gilt:
   

Beispiele 1

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  • Die Zahlen   und   auf zwei verschiedenen Laplace-Würfeln sind unabhängig voneinander.

  • Die Zahl   auf der Oberseite und die Zahl   auf der Unterseite eines Laplace-Würfels sind nicht unabhängig voneinander.

  • Die Zahl   auf der Oberseite und die Zahl   auf der Vorderseite eines Laplace-Würfels sind nicht unabhängig voneinander.

Beispiele 2

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  • Ist   die Mathematiknote und   die Physiknote eines zufällig ausgewählten Schülers, so sind   und   wohl nicht unabhängig voneinander.

  • Ist   die Mathematiknote und   die Anzahl der Geschwister eines zufällig ausgewählten Schülers, so könnten   und   als unabhängig voneinander angenommen werden.

Einzelne und gemeinsame W-Funktion

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Zum Zusammenhang zwischen den einzelnen W-Funktionen und der gemeinsamen W-Funktionen:

  • Kennt man die gemeinsame W-Funktion zweier ZV, so kann man daraus auf die W-Funktionen der einzelnen ZV schließen.
  • Aus den einzelnen W-Funktion zweier ZV kann man jedoch im Allgemeinen nicht auf ihre gemeinsame Funktion schließen. (Die gemeinsame W-Funktion enthält also mehr Informationen als die einzelnen ZV.
  • Ist jedoch zusätzlich bekannt, dass zwei ZV unabhängig voneinander sind, so ergibt sich ihre gemeinsame W-Funktion als Multiplikationstabelle aus den einzelnen W-Funktionen.

Linearkombinationen und Verknüpfungen von ZV

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  1. Ist   eine endliche ZV und sind  , so ist auch   eine endliche ZV.
  2. Sind   endliche ZV, so sind auch   und   endliche ZV.

W-Funktion von Linearkombinationen und Verknüpfungen von ZV I

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Ist   eine endliche ZV, die die Werte   annehmen kann und sind   mit  , so kann die ZV   die Werte   annehmen und es gilt:  

Beispiel 1.1
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Ein Laplace-Würfel wird geworfen. Die ZV   gibt die Zahl auf dem Würfel an. Die ZV   gibt die Zahl an, die man erhält, wenn man das Würfelergebnis vervierfacht und dann   abzieht, also  .

Für die W-Funktionen von   und   gilt:  

Beispiel 1.2

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Man berechnet daraus:

 

W-Funktion von Linearkombinationen und Verknüpfungen von ZV II

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Seien   endliche ZV. Um die W-Funktion von Verknüpfungen von   und   zu ermitteln, muss man die gemeinsame W-Funktion von   und   kennen (es genügt nicht, die einzelnen W-Funktionen von   und   zu kennen).

Ist   eine Verknüpfung, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit   für   als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten   über alle Kombinationen   mit  .
 

Beispiel 2.1
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Zwei Laplace-Würfel werden geworfen. Die ZV   gibt die Zahl auf dem ersten und die ZV   gibt die Zahl auf dem zweiten Würfel an. Aus der gemeinsamen W-Funktion von   und   (vgl. 2.1) ermittelt man die W-Funktionen von:

Beispiel 2.2
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 :  
Daraus berechnet man:   und  

Beispiel 2.3
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 :

 
Daraus berechnet man:   und  

Beispiel 2.4
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 :  
 
Daraus berechnet man:  

Beispiel 3.1
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Ein Laplace-Würfel, bei dem sich die Augenzahlen   und  , sowie   und   sowie   und   gegenüberliegen, wird geworfen. Die ZV   gibt die Zahl auf der Oberseite und die ZV   gibt die Zahl auf der Unterseite des Würfels an. Aus der gemeinsamen W-Funktion von   und   (vgl. Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion) ermittelt man die W-Funktionen von:

Beispiel 3.2
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 :
 
Daraus berechnet man:   und  

Beispiel 3.3
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 :
 
Daraus berechnet man:   und  

Beispiel 3.4
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 :
 
Daraus berechnet man:  

Beispiel 4.1
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Ein Laplace-Würfel, bei dem sich die Augenzahlen   und  , sowie   und   sowie   und   gegenüberliegen, wird geworfen. Die ZV   gibt die Zahl auf der Oberseite und die ZV   gibt die Zahl auf der Vorderseite des Würfels an. Aus der gemeinsamen W-Funktion von   und   (vgl. 2.1) ermittelt man die W-Funktionen von:

Beispiel 4.2
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 :
 
Daraus berechnet man:   und  

Beispiel 4.3
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 :
 
Daraus berechnet man:   und  

Beispiel 4.4
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 :

  Daraus berechnet man:  

Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz I

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Sind   endliche ZV und sind  , so gilt:  

Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz II

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Sind   ZV, so gilt:
 

Aufgabe 1

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Zwei sechsseitige Würfel werden geworfen. Die ZV   gibt das Produkt der Augenzahlen an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von   und berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von  .

Aufgabe 2

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Bei der Sendung " Wer wird Millionär? " hat ein Kandidat bereits die Gewinnstufe   Euro erreicht. Bei der nächsten Frage ist er sich mit seiner Antwort zu   sicher. Antwortet er richtig, erhält er   Euro, antwortet er falsch, fällt er auf   Euro zurück. Er kann aber auch auf eine Antwort verzichten und hat dann   Euro sicher.

  • Berechnen Sie den Erwartungswert für seinen Gewinn, falls er antwortet.
  • Diskutieren Sie dann, ob der Kandidat eine Antwort riskieren sollte? (Hierbei gibt es keine eindeutige Lösung.)


Aufgabe 3

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In einer Lostrommel befinden sich 8 Kugeln mit den Zahlen  . Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung für die ZV der Summe der gezogenen Zahlen:

  • bei einmaligem Ziehen
  • bei achtmaligem Ziehen mit Zurücklegen
  • bei achtmaligem Ziehen ohne Zurücklegen

Aufgabe 4.1

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1. Ein Glücksrad (siehe Graphik) wird zweimal gedreht. Die Zahl, die beim ersten Drehen ganz oben steht, wird durch die Zufallsvariable   beschrieben. Die Zahl, die beim zweiten Drehen oben angezeigt wird, wird durch die Zufallsvariable   beschrieben.
Es darf von einem Laplace-Experiment ausgegangen werden.
 

Aufgabe 4.2

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  • Bestimmen Sie die W-Funktionen von   und  .
  • Sind   und   unabhängig voneinander? Bestimmen Sie die gemeinsame W-Funktion von   und  .
  • Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von   und  .
  • Es sei  . Welche Werte kann   annehmen? Bestimmen Sie zur Zufallsvariablen   die W-Funktion,  ,   und  .

Aufgabe 4.3

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2. Nun betrachten wir den Fall, dass das Rad nur einmal gedreht wird. Die oben stehende Zahl wird durch die ZV   beschrieben. Die Zahl, die der angezeigten Zahl genau gegenüber liegt, wird durch die ZV   beschrieben.

Bearbeiten Sie für diese Situation ebenfalls die Aufgabenteile aus 1.

Aufgabe 5.1

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Um die Nutzung einer Aufstiegshilfe für Fische an einer Staustufe (Fischtreppe) zu modellieren, wurde ein Modell entwickelt, bei dem die Anzahl der Fische, die die Aufstiegshilfe innerhalb einer Stunde passieren, bestimmt wird. Die Zufallsvariable   beschreibe die Anzahl der Fische, die die Aufstiegshilfe innerhalb einer Stunde passieren. Man weiß, dass   nur die Werte   und   annehmen kann.

Aufgabe 5.2

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Wir nehmen an, dass die W-Funktion zur ZV   bekannt ist und mit nachfolgender Wertetabelle dargestellt werden kann:  :  


  1. Bestimmen Sie die fehlende Wahrscheinlichkeit   für k=0.
  2. Berechnen Sie  ,   und  .

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