Sei
(
Ω
,
P
)
{\textstyle (\Omega ,P)}
X
,
Y
:
Ω
→
R
{\textstyle X,Y:\Omega \to \mathbb {R} }
Ω
{\textstyle \Omega }
a
,
b
∈
R
,
n
∈
N
{\textstyle a,b\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N} }
Ω
{\textstyle \Omega }
a
⋅
X
+
b
:
Ω
→
R
,
ω
↦
a
⋅
X
(
ω
)
+
b
,
{\displaystyle a\cdot X+b:\Omega \to \mathbb {R} ,\ \omega \mapsto a\cdot X(\omega )+b,}
X
n
:
Ω
→
R
,
ω
↦
X
(
ω
)
n
{\displaystyle X^{n}:\Omega \to \mathbb {R} ,\ \omega \mapsto X(\omega )^{n}}
X
+
Y
:
Ω
→
R
,
ω
↦
X
(
ω
)
+
Y
(
ω
)
,
{\displaystyle X+Y:\Omega \to \mathbb {R} ,\ \omega \mapsto X(\omega )+Y(\omega ),}
X
⋅
Y
:
Ω
→
R
,
ω
↦
X
(
ω
)
⋅
Y
(
ω
)
,
{\displaystyle X\cdot Y:\Omega \to \mathbb {R} ,\ \omega \mapsto X(\omega )\cdot Y(\omega ),}
X
−
Y
:
Ω
→
R
,
ω
↦
X
(
ω
)
−
Y
(
ω
)
,
{\displaystyle X-Y:\Omega \to \mathbb {R} ,\ \omega \mapsto X(\omega )-Y(\omega ),}
(weitere Verknüpfungen von ZV sind denkbar)
{\displaystyle {\text{(weitere Verknüpfungen von ZV sind denkbar)}}}
Gemeinsame Verteilung zweier endlicher ZV und Unabhängigkeit
Bearbeiten
(Gemeinsame W-Funktion zweier endlicher ZV)
X
,
Y
,
{\textstyle X,Y,}
X
{\textstyle X}
a
1
,
…
,
a
m
{\textstyle a_{1},\ldots ,a_{m}}
Y
{\textstyle Y}
b
1
,
…
,
b
ℓ
{\textstyle b_{1},\ldots ,b_{\ell }}
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
Bearbeiten
Die Funktion
{
a
1
,
…
,
a
m
}
×
{
b
1
,
…
,
b
ℓ
}
→
[
0
,
1
]
,
(
a
j
,
b
k
)
↦
P
(
X
=
a
j
∧
Y
=
b
k
)
{\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{m}\}\times \{b_{1},\ldots ,b_{\ell }\}\to [0,1]\ ,\ (a_{j},b_{k})\mapsto P(X=a_{j}\wedge Y=b_{k})}
gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von
X
{\textstyle X}
Y
.
{\textstyle Y.}
Man kann sie übersichtlich in Form einer Tabelle darstellen, wobei die möglichen Werte
a
1
,
…
,
a
m
{\textstyle a_{1},\ldots ,a_{m}}
X
{\textstyle X}
b
1
,
…
,
b
ℓ
{\textstyle b_{1},\ldots ,b_{\ell }}
Y
{\textstyle Y}
a
j
{\textstyle a_{j}}
b
k
{\textstyle b_{k}}
P
(
X
=
a
j
∧
Y
=
b
k
)
{\textstyle P(X=a_{j}\wedge Y=b_{k})}
Zwei Laplace-Würfel werden geworfen. Die ZV
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
b
1
=
1
b
2
=
2
b
3
=
3
b
4
=
4
b
5
=
5
b
6
=
6
Summe
P
(
X
=
1
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
1
)
a
1
=
1
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
6
P
(
X
=
2
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
2
)
a
2
=
2
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
6
P
(
X
=
3
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
3
)
a
3
=
3
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
6
P
(
X
=
4
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
4
)
a
4
=
4
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
6
P
(
X
=
5
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
5
)
a
5
=
5
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
6
P
(
X
=
6
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
6
)
a
6
=
6
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
6
P
(
Y
=
1
)
P
(
Y
=
2
)
P
(
Y
=
3
)
P
(
Y
=
4
)
P
(
Y
=
5
)
P
(
Y
=
6
)
Summe
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c||c|}\hline &b_{1}=1&b_{2}=2&b_{3}=3&b_{4}=4&b_{5}=5&b_{6}=6&{\text{Summe}}\\\hline \hline &P(X=1\wedge Y=1)&P(X=1\wedge Y=2)&P(X=1\wedge Y=3)&P(X=1\wedge Y=4)&P(X=1\wedge Y=5)&P(X=1\wedge Y=6)&P(X=1)\\a_{1}=1&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=2\wedge Y=1)&P(X=2\wedge Y=2)&P(X=2\wedge Y=3)&P(X=2\wedge Y=4)&P(X=2\wedge Y=5)&P(X=2\wedge Y=6)&P(X=2)\\a_{2}=2&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=3\wedge Y=1)&P(X=3\wedge Y=2)&P(X=3\wedge Y=3)&P(X=3\wedge Y=4)&P(X=3\wedge Y=5)&P(X=3\wedge Y=6)&P(X=3)\\a_{3}=3&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=4\wedge Y=1)&P(X=4\wedge Y=2)&P(X=4\wedge Y=3)&P(X=4\wedge Y=4)&P(X=4\wedge Y=5)&P(X=4\wedge Y=6)&P(X=4)\\a_{4}=4&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=5\wedge Y=1)&P(X=5\wedge Y=2)&P(X=5\wedge Y=3)&P(X=5\wedge Y=4)&P(X=5\wedge Y=5)&P(X=5\wedge Y=6)&P(X=5)\\a_{5}=5&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=6\wedge Y=1)&P(X=6\wedge Y=2)&P(X=6\wedge Y=3)&P(X=6\wedge Y=4)&P(X=6\wedge Y=5)&P(X=6\wedge Y=6)&P(X=6)\\a_{6}=6&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {1}{6}}\\\hline \hline &P(Y=1)&P(Y=2)&P(Y=3)&P(Y=4)&P(Y=5)&P(Y=6)&\\{\text{Summe}}&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\\&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&1\\\hline \end{array}}}
Ein Laplace-Würfel, bei dem sich die Augenzahlen
1
{\textstyle 1}
6
{\textstyle 6}
2
{\textstyle 2}
5
{\textstyle 5}
3
{\textstyle 3}
4
{\textstyle 4}
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
Die gemeinsame W-Funktion sieht wie folgt aus:
b
1
=
1
b
2
=
2
b
3
=
3
b
4
=
4
b
5
=
5
b
6
=
6
Summe
P
(
X
=
1
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
1
)
a
1
=
1
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
0
0
0
0
0
1
6
1
6
P
(
X
=
2
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
2
)
a
2
=
2
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
0
0
0
0
1
6
0
1
6
P
(
X
=
3
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
3
)
a
3
=
3
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
0
0
0
1
6
0
0
1
6
P
(
X
=
4
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
4
)
a
4
=
4
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
0
0
1
6
0
0
0
1
6
P
(
X
=
5
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
5
)
a
5
=
5
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
0
1
6
0
0
0
0
1
6
P
(
X
=
6
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
6
)
a
6
=
6
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
6
0
0
0
0
0
1
6
P
(
Y
=
1
)
P
(
Y
=
2
)
P
(
Y
=
3
)
P
(
Y
=
4
)
P
(
Y
=
5
)
P
(
Y
=
6
)
Summe
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c||c|}\hline &b_{1}=1&b_{2}=2&b_{3}=3&b_{4}=4&b_{5}=5&b_{6}=6&{\text{Summe}}\\\hline \hline &P(X=1\wedge Y=1)&P(X=1\wedge Y=2)&P(X=1\wedge Y=3)&P(X=1\wedge Y=4)&P(X=1\wedge Y=5)&P(X=1\wedge Y=6)&P(X=1)\\a_{1}=1&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&0&0&0&0&0&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=2\wedge Y=1)&P(X=2\wedge Y=2)&P(X=2\wedge Y=3)&P(X=2\wedge Y=4)&P(X=2\wedge Y=5)&P(X=2\wedge Y=6)&P(X=2)\\a_{2}=2&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&0&0&0&0&{\frac {1}{6}}&0&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=3\wedge Y=1)&P(X=3\wedge Y=2)&P(X=3\wedge Y=3)&P(X=3\wedge Y=4)&P(X=3\wedge Y=5)&P(X=3\wedge Y=6)&P(X=3)\\a_{3}=3&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&0&0&0&{\frac {1}{6}}&0&0&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=4\wedge Y=1)&P(X=4\wedge Y=2)&P(X=4\wedge Y=3)&P(X=4\wedge Y=4)&P(X=4\wedge Y=5)&P(X=4\wedge Y=6)&P(X=4)\\a_{4}=4&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&0&0&{\frac {1}{6}}&0&0&0&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=5\wedge Y=1)&P(X=5\wedge Y=2)&P(X=5\wedge Y=3)&P(X=5\wedge Y=4)&P(X=5\wedge Y=5)&P(X=5\wedge Y=6)&P(X=5)\\a_{5}=5&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&0&{\frac {1}{6}}&0&0&0&0&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=6\wedge Y=1)&P(X=6\wedge Y=2)&P(X=6\wedge Y=3)&P(X=6\wedge Y=4)&P(X=6\wedge Y=5)&P(X=6\wedge Y=6)&P(X=6)\\a_{6}=6&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&{\frac {1}{6}}&0&0&0&0&0&{\frac {1}{6}}\\\hline \hline &P(Y=1)&P(Y=2)&P(Y=3)&P(Y=4)&P(Y=5)&P(Y=6)&\\{\text{Summe}}&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\\&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&1\\\hline \end{array}}}
Ein Laplace-Würfel, bei dem sich die Augenzahlen
1
{\textstyle 1}
6
{\textstyle 6}
2
{\textstyle 2}
5
{\textstyle 5}
3
{\textstyle 3}
4
{\textstyle 4}
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
Die gemeinsame W-Funktion sieht wie folgt aus:
b
1
=
1
b
2
=
2
b
3
=
3
b
4
=
4
b
5
=
5
b
6
=
6
Summe
P
(
X
=
1
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
1
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
1
)
a
1
=
1
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
0
1
24
1
24
1
24
1
24
0
1
6
P
(
X
=
2
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
2
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
2
)
a
2
=
2
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
24
0
1
24
1
24
0
1
24
1
6
P
(
X
=
3
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
3
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
3
)
a
3
=
3
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
24
1
24
0
0
1
24
1
24
1
6
P
(
X
=
4
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
4
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
4
)
a
4
=
4
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
24
1
24
0
0
1
24
1
24
1
6
P
(
X
=
5
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
5
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
5
)
a
5
=
5
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
24
0
1
24
1
24
0
1
24
1
6
P
(
X
=
6
∧
Y
=
1
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
2
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
3
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
4
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
5
)
P
(
X
=
6
∧
Y
=
6
)
P
(
X
=
6
)
a
6
=
6
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
0
1
24
1
24
1
24
1
24
0
1
6
P
(
Y
=
1
)
P
(
Y
=
2
)
P
(
Y
=
3
)
P
(
Y
=
4
)
P
(
Y
=
5
)
P
(
Y
=
6
)
Summe
∥
∥
∥
∥
∥
∥
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c||c|}\hline &b_{1}=1&b_{2}=2&b_{3}=3&b_{4}=4&b_{5}=5&b_{6}=6&{\text{Summe}}\\\hline \hline &P(X=1\wedge Y=1)&P(X=1\wedge Y=2)&P(X=1\wedge Y=3)&P(X=1\wedge Y=4)&P(X=1\wedge Y=5)&P(X=1\wedge Y=6)&P(X=1)\\a_{1}=1&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&0&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{24}}&0&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=2\wedge Y=1)&P(X=2\wedge Y=2)&P(X=2\wedge Y=3)&P(X=2\wedge Y=4)&P(X=2\wedge Y=5)&P(X=2\wedge Y=6)&P(X=2)\\a_{2}=2&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&{\frac {1}{24}}&0&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{24}}&0&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=3\wedge Y=1)&P(X=3\wedge Y=2)&P(X=3\wedge Y=3)&P(X=3\wedge Y=4)&P(X=3\wedge Y=5)&P(X=3\wedge Y=6)&P(X=3)\\a_{3}=3&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{24}}&0&0&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=4\wedge Y=1)&P(X=4\wedge Y=2)&P(X=4\wedge Y=3)&P(X=4\wedge Y=4)&P(X=4\wedge Y=5)&P(X=4\wedge Y=6)&P(X=4)\\a_{4}=4&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{24}}&0&0&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=5\wedge Y=1)&P(X=5\wedge Y=2)&P(X=5\wedge Y=3)&P(X=5\wedge Y=4)&P(X=5\wedge Y=5)&P(X=5\wedge Y=6)&P(X=5)\\a_{5}=5&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&{\frac {1}{24}}&0&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{24}}&0&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{6}}\\\hline &P(X=6\wedge Y=1)&P(X=6\wedge Y=2)&P(X=6\wedge Y=3)&P(X=6\wedge Y=4)&P(X=6\wedge Y=5)&P(X=6\wedge Y=6)&P(X=6)\\a_{6}=6&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel \\&0&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{24}}&{\frac {1}{24}}&0&{\frac {1}{6}}\\\hline \hline &P(Y=1)&P(Y=2)&P(Y=3)&P(Y=4)&P(Y=5)&P(Y=6)&\\{\text{Summe}}&\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\parallel &\\&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&1\\\hline \end{array}}}
Spalten- und Zeilensummen
Bearbeiten
Es gilt stets:
Für alle
j
∈
{
1
,
…
,
m
}
:
∑
k
=
1
ℓ
P
(
X
=
a
j
∧
Y
=
b
k
)
=
P
(
X
=
a
j
)
(Spaltensummen)
Für alle
k
∈
{
1
,
…
,
ℓ
}
:
∑
j
=
1
m
P
(
X
=
a
j
∧
Y
=
b
k
)
=
P
(
Y
=
b
k
)
(Zeilensummen)
∑
j
=
1
m
∑
k
=
1
ℓ
P
(
X
=
a
j
∧
Y
=
b
k
)
=
1
(Gesamtsumme)
{\displaystyle {\begin{array}{rcrcll}{\text{Für alle}}\ j\in \{1,\ldots ,m\}&:&\sum \limits _{k=1}^{\ell }P(X=a_{j}\wedge Y=b_{k})&=&P(X=a_{j})&{\text{(Spaltensummen)}}\\{\text{Für alle}}\ k\in \{1,\ldots ,\ell \}&:&\sum \limits _{j=1}^{m}P(X=a_{j}\wedge Y=b_{k})&=&P(Y=b_{k})&{\text{(Zeilensummen)}}\\&&\sum \limits _{j=1}^{m}\sum \limits _{k=1}^{\ell }P(X=a_{j}\wedge Y=b_{k})&=&1&{\text{(Gesamtsumme)}}\end{array}}}
Definitionsgemäß
{\textstyle \;}
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
j
∈
{
1
,
…
,
m
}
{\textstyle j\in \{1,\ldots ,m\}}
k
∈
{
1
,
…
,
ℓ
}
{\textstyle k\in \{1,\ldots ,\ell \}}
{
X
=
a
j
}
{\textstyle \{X=a_{j}\}}
{
Y
=
b
k
}
{\textstyle \{Y=b_{k}\}}
P
(
X
=
a
j
∧
Y
=
b
k
)
=
P
(
X
=
a
j
)
⋅
P
(
Y
=
b
k
)
{\displaystyle P(X=a_{j}\wedge Y=b_{k})=P(X=a_{j})\cdot P(Y=b_{k})}
für alle
j
∈
{
1
,
…
,
m
}
und alle
k
∈
{
1
,
…
,
ℓ
}
{\displaystyle {\text{für alle}}\ j\in \{1,\ldots ,m\}\ {\text{und alle}}\ k\in \{1,\ldots ,\ell \}}
Einzelne und gemeinsame W-Funktion
Bearbeiten
Zum Zusammenhang zwischen den einzelnen W-Funktionen und der gemeinsamen W-Funktionen:
Kennt man die gemeinsame W-Funktion zweier ZV, so kann man daraus auf die W-Funktionen der einzelnen ZV schließen.
Aus den einzelnen W-Funktion zweier ZV kann man jedoch im Allgemeinen nicht auf ihre gemeinsame Funktion schließen. (Die gemeinsame W-Funktion enthält also mehr Informationen als die einzelnen ZV.
Ist jedoch zusätzlich bekannt, dass zwei ZV unabhängig voneinander sind, so ergibt sich ihre gemeinsame W-Funktion als Multiplikationstabelle aus den einzelnen W-Funktionen.
Linearkombinationen und Verknüpfungen von ZV
Bearbeiten
Ist
X
{\textstyle X}
u
,
v
∈
R
{\textstyle u,v\in \mathbb {R} }
u
⋅
X
+
v
{\textstyle u\cdot X+v}
Sind
X
,
Y
{\textstyle X,Y}
X
+
Y
,
X
−
Y
{\textstyle X+Y,\ X-Y}
X
⋅
Y
{\textstyle X\cdot Y}
W-Funktion von Linearkombinationen und Verknüpfungen von ZV I
Bearbeiten
Ist
X
{\textstyle X}
a
1
,
…
,
a
m
{\textstyle a_{1},\ldots ,a_{m}}
u
,
v
∈
R
{\textstyle u,v\in \mathbb {R} }
u
≠
0
{\textstyle u\not =0}
u
X
+
v
{\textstyle uX+v}
u
⋅
a
1
+
v
,
…
,
u
⋅
a
m
+
v
{\textstyle u\cdot a_{1}+v,\ldots ,u\cdot a_{m}+v}
P
(
u
X
+
v
=
u
⋅
a
k
+
v
)
=
P
(
X
=
a
k
)
für alle
k
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle P(uX+v=u\cdot a_{k}+v)=P(X=a_{k})\quad {\text{für alle}}\ k=1,\ldots ,n}
Ein Laplace-Würfel wird geworfen. Die ZV
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
8
{\textstyle 8}
Y
=
4
⋅
X
−
8
{\textstyle Y=4\cdot X-8}
Für die W-Funktionen von
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
mögl. Wert für
X
mögl. Wert für
Y
Wahrscheinlichkeit
1
−
4
P
(
Y
=
−
4
)
=
P
(
X
=
1
)
=
1
6
2
0
P
(
Y
=
0
)
=
P
(
X
=
2
)
=
1
6
3
4
P
(
Y
=
4
)
=
P
(
X
=
3
)
=
1
6
4
8
P
(
Y
=
8
)
=
P
(
X
=
4
)
=
1
6
5
12
P
(
Y
=
12
)
=
P
(
X
=
5
)
=
1
6
6
16
P
(
Y
=
16
)
=
P
(
X
=
6
)
=
1
6
{\displaystyle {\begin{array}{c|rcr|rcccl}{\text{mögl. Wert für }}X&{\text{mögl. Wert für }}Y&&&{\text{Wahrscheinlichkeit}}&&\\\hline 1&-4&&&P(Y=-4)&=&P(X=1)&=&{\frac {1}{6}}\\\hline 2&0&&&P(Y=0)&=&P(X=2)&=&{\frac {1}{6}}\\\hline 3&4&&&P(Y=4)&=&P(X=3)&=&{\frac {1}{6}}\\\hline 4&8&&&P(Y=8)&=&P(X=4)&=&{\frac {1}{6}}\\\hline 5&12&&&P(Y=12)&=&P(X=5)&=&{\frac {1}{6}}\\\hline 6&16&&&P(Y=16)&=&P(X=6)&=&{\frac {1}{6}}\end{array}}}
Man berechnet daraus:
E
(
X
)
=
3.5
und
V
(
X
)
=
2.9167
sowie
E
(
Y
)
=
6
und
V
(
Y
)
=
46.6667
{\displaystyle E(X)=3.5\ {\text{und}}\ V(X)=2.9167\quad {\text{sowie}}\quad E(Y)=6\ {\text{und}}\ V(Y)=46.6667}
W-Funktion von Linearkombinationen und Verknüpfungen von ZV II
Bearbeiten
Seien
X
,
Y
{\textstyle X,Y}
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
Ist
⋆
{\textstyle \star }
P
(
X
⋆
Y
=
c
)
{\textstyle P(X\star Y=c)}
c
∈
R
{\textstyle c\in \mathbb {R} }
P
(
X
=
a
∧
Y
=
b
)
{\textstyle P(X=a\wedge Y=b)}
(
a
,
b
)
{\textstyle (a,b)}
a
⋆
b
=
c
{\textstyle a\star b=c}
Also:
P
(
X
⋆
Y
=
c
)
=
∑
(
a
,
b
)
,
a
⋆
b
=
c
P
(
X
=
a
∧
Y
=
b
)
{\displaystyle {\text{Also:}}\quad P(X\star Y=c)=\sum \limits _{(a,b),\ a\star b=c}P(X=a\wedge Y=b)}
Zwei Laplace-Würfel werden geworfen. Die ZV
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
2.1 ) ermittelt man die W-Funktionen von:
X
+
Y
{\textstyle X+Y}
c
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P
(
X
+
Y
)
=
c
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
{\displaystyle {\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}c&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline P(X+Y)=c&{\frac {1}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {3}{36}}&{\frac {4}{36}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {6}{36}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {4}{36}}&{\frac {3}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {1}{36}}\end{array}}}
E
(
X
+
Y
)
=
7
{\textstyle \quad E(X+Y)=7}
V
(
X
+
Y
)
=
5.8333
{\textstyle V(X+Y)=5.8333}
X
−
Y
{\textstyle X-Y}
c
−
5
−
4
−
3
−
2
−
1
0
1
2
3
4
5
P
(
X
−
Y
=
c
)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
{\displaystyle {\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}c&-5&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5\\\hline P(X-Y=c)&{\frac {1}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {3}{36}}&{\frac {4}{36}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {6}{36}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {4}{36}}&{\frac {3}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {1}{36}}\end{array}}}
E
(
X
−
Y
)
=
0
{\textstyle \quad E(X-Y)=0}
V
(
X
−
Y
)
=
5.8333
{\textstyle V(X-Y)=5.8333}
X
⋅
Y
{\textstyle X\cdot Y}
c
1
2
3
4
5
6
8
9
10
P
(
X
⋅
Y
=
c
)
1
36
2
36
2
36
3
36
2
36
4
36
2
36
1
36
2
36
{\displaystyle {\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}c&1&2&3&4&5&6&8&9&10\\\hline P(X\cdot Y=c)&{\frac {1}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {3}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {4}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {2}{36}}\end{array}}}
c
12
15
16
18
20
24
25
30
36
P
(
X
⋅
Y
=
c
)
4
36
2
36
1
36
2
36
2
36
2
36
1
36
2
36
1
36
{\displaystyle {\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}c&12&15&16&18&20&24&25&30&36\\\hline P(X\cdot Y=c)&{\frac {4}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {1}{36}}&{\frac {2}{36}}&{\frac {1}{36}}\end{array}}}
E
(
X
⋅
Y
)
=
12.25
{\textstyle \quad E(X\cdot Y)=12.25}
Ein Laplace-Würfel, bei dem sich die Augenzahlen
1
{\textstyle 1}
6
{\textstyle 6}
2
{\textstyle 2}
5
{\textstyle 5}
3
{\textstyle 3}
4
{\textstyle 4}
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion ) ermittelt man die W-Funktionen von:
X
+
Y
{\textstyle X+Y}
c
7
P
(
X
+
Y
)
=
c
1
{\displaystyle {\begin{array}{c||c}c&7\\\hline P(X+Y)=c&1\end{array}}}
E
(
X
+
Y
)
=
7
{\textstyle \quad E(X+Y)=7}
V
(
X
+
Y
)
=
0
{\textstyle V(X+Y)=0}
X
−
Y
{\textstyle X-Y}
c
−
5
−
3
−
1
1
3
5
P
(
X
−
Y
=
c
)
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
{\displaystyle {\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}c&-5&-3&-1&1&3&5\\\hline P(X-Y=c)&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}\end{array}}}
E
(
X
−
Y
)
=
0
{\textstyle \quad E(X-Y)=0}
V
(
X
−
Y
)
=
11.6667
{\textstyle V(X-Y)=11.6667}
X
⋅
Y
{\textstyle X\cdot Y}
c
6
10
12
P
(
X
⋅
Y
=
c
)
1
3
1
3
1
3
{\displaystyle {\begin{array}{c||c|c|c}c&6&10&12\\\hline P(X\cdot Y=c)&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\end{array}}}
E
(
X
⋅
Y
)
=
9.3333
{\textstyle \quad E(X\cdot Y)=9.3333}
Ein Laplace-Würfel, bei dem sich die Augenzahlen
1
{\textstyle 1}
6
{\textstyle 6}
2
{\textstyle 2}
5
{\textstyle 5}
3
{\textstyle 3}
4
{\textstyle 4}
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
2.1 ) ermittelt man die W-Funktionen von:
X
+
Y
{\textstyle X+Y}
c
3
4
5
6
8
9
10
11
P
(
X
+
Y
)
=
c
2
24
2
24
4
24
4
24
4
24
4
24
2
24
2
24
{\displaystyle {\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c}c&3&4&5&6&8&9&10&11\\\hline P(X+Y)=c&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {4}{24}}&{\frac {4}{24}}&{\frac {4}{24}}&{\frac {4}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}\end{array}}}
E
(
X
+
Y
)
=
7
{\textstyle \quad E(X+Y)=7}
V
(
X
+
Y
)
=
5.8333
{\textstyle V(X+Y)=5.8333}
X
−
Y
{\textstyle X-Y}
c
−
4
−
3
−
2
−
1
1
2
3
4
P
(
X
−
Y
)
=
c
2
24
2
24
4
24
4
24
4
24
4
24
2
24
2
24
{\displaystyle {\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c}c&-4&-3&-2&-1&1&2&3&4\\\hline P(X-Y)=c&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {4}{24}}&{\frac {4}{24}}&{\frac {4}{24}}&{\frac {4}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}\end{array}}}
E
(
X
−
Y
)
=
0
{\textstyle \quad E(X-Y)=0}
V
(
X
−
Y
)
=
5.8333
{\textstyle V(X-Y)=5.8333}
X
⋅
Y
{\textstyle X\cdot Y}
c
2
3
4
5
6
8
12
15
18
20
24
30
P
(
X
⋅
Y
=
c
)
2
24
2
24
2
24
2
24
2
24
2
24
2
24
2
24
2
24
2
24
2
24
2
24
{\displaystyle {\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}c&2&3&4&5&6&8&12&15&18&20&24&30\\\hline P(X\cdot Y=c)&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}&{\frac {2}{24}}\end{array}}}
E
(
X
⋅
Y
)
=
12.25
{\textstyle \quad E(X\cdot Y)=12.25}
Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz I
Bearbeiten
Sind
X
,
Y
{\textstyle X,Y}
u
,
v
∈
R
{\textstyle u,v\in \mathbb {R} }
stets
stets
stets
E
(
u
⋅
X
+
v
)
=
u
⋅
E
(
X
)
+
v
V
(
u
⋅
X
+
v
)
=
u
2
⋅
V
(
X
)
σ
u
⋅
X
+
v
=
|
u
|
⋅
σ
X
stets
falls X,Y unabhängig
falls X,Y unabhängig
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
V
(
X
+
Y
)
=
V
(
X
)
+
V
(
Y
)
σ
X
+
Y
=
σ
X
2
+
σ
Y
2
stets
falls X,Y unabhängig
falls X,Y unabhängig
E
(
X
−
Y
)
=
E
(
X
)
−
E
(
Y
)
V
(
X
−
Y
)
=
V
(
X
)
+
V
(
Y
)
σ
X
−
Y
=
σ
X
2
+
σ
Y
2
falls X,Y unabhängig
E
(
X
⋅
Y
)
=
E
(
X
)
⋅
E
(
Y
)
{\displaystyle {\begin{array}{|l|l|l|}\hline {\text{stets}}&{\text{stets}}&{\text{stets}}\\E(u\cdot X+v)=u\cdot E(X)+v&V(u\cdot X+v)=u^{2}\cdot V(X)&\sigma _{u\cdot X+v}=|u|\cdot \sigma _{X}\\\hline {\text{stets}}&{\text{falls X,Y unabhängig}}&{\text{falls X,Y unabhängig}}\\E(X+Y)=E(X)+E(Y)&V(X+Y)=V(X)+V(Y)&\sigma _{X+Y}={\sqrt {{\sigma _{X}}^{2}+{\sigma _{Y}}^{2}}}\\\hline {\text{stets}}&{\text{falls X,Y unabhängig}}&{\text{falls X,Y unabhängig}}\\E(X-Y)=E(X)-E(Y)&V(X-Y)=V(X)+V(Y)&\sigma _{X-Y}={\sqrt {{\sigma _{X}}^{2}+{\sigma _{Y}}^{2}}}\\\hline {\text{falls X,Y unabhängig}}&&\\E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)&&\\\hline \end{array}}}
Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz II
Bearbeiten
Sind
X
1
,
…
,
X
n
{\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
stets
falls
X
1
,
…
,
X
n
unabhängig
E
(
∑
j
=
1
n
X
j
)
=
∑
j
=
1
n
E
(
X
j
)
V
(
∑
j
=
1
n
X
j
)
=
∑
j
=
1
n
V
(
X
j
)
σ
X
1
+
…
+
X
n
=
σ
X
1
2
+
…
+
σ
X
n
2
{\displaystyle {\begin{array}{|l|rcl|}\hline {\text{stets}}&{\text{falls }}X_{1},\ldots ,X_{n}{\text{unabhängig}}\\E(\sum _{j=1}^{n}X_{j})=\sum _{j=1}^{n}E(X_{j})&V(\sum _{j=1}^{n}X_{j})&=&\sum _{j=1}^{n}V(X_{j})\\&\sigma _{X_{1}+\ldots +X_{n}}&=&{\sqrt {{\sigma _{X_{1}}}^{2}+\ldots +{\sigma _{X_{n}}}^{2}}}\\\hline \end{array}}}
Zwei sechsseitige Würfel werden geworfen. Die ZV
X
{\textstyle X}
X
{\textstyle X}
X
{\textstyle X}
Bei der Sendung " Wer wird Millionär? " hat ein Kandidat bereits die Gewinnstufe
500000
{\textstyle 500000}
60
%
{\textstyle 60\%}
1000000
{\textstyle 1000000}
16000
{\textstyle 16000}
500000
{\textstyle 500000}
Berechnen Sie den Erwartungswert für seinen Gewinn, falls er antwortet.
Diskutieren Sie dann, ob der Kandidat eine Antwort riskieren sollte? (Hierbei gibt es keine eindeutige Lösung.)
In einer Lostrommel befinden sich 8 Kugeln mit den Zahlen
0
,
0
,
0
,
2
,
2
,
5
,
10
,
20
{\textstyle 0,0,0,2,2,5,10,20}
bei einmaligem Ziehen
bei achtmaligem Ziehen mit Zurücklegen
bei achtmaligem Ziehen ohne Zurücklegen
1. Ein Glücksrad (siehe Graphik) wird zweimal gedreht. Die Zahl, die beim ersten Drehen ganz oben steht, wird durch die Zufallsvariable
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
Bestimmen Sie die W-Funktionen von
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
Sind
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
Es sei
A
:=
X
+
Y
{\textstyle A:=X+Y}
A
{\textstyle A}
A
{\textstyle A}
E
(
A
)
{\textstyle E(A)}
V
(
A
)
{\textstyle V(A)}
σ
A
{\textstyle \sigma _{A}}
2. Nun betrachten wir den Fall, dass das Rad nur einmal gedreht wird. Die oben stehende Zahl wird durch die ZV
X
{\textstyle X}
Y
{\textstyle Y}
Bearbeiten Sie für diese Situation ebenfalls die Aufgabenteile aus 1.
Um die Nutzung einer Aufstiegshilfe für Fische an einer Staustufe (Fischtreppe) zu modellieren, wurde ein Modell entwickelt, bei dem die Anzahl der Fische, die die Aufstiegshilfe innerhalb einer Stunde passieren, bestimmt wird. Die Zufallsvariable
X
{\textstyle X}
ß , dass
X
{\textstyle X}
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
{\textstyle 0,1,2,3,4,5,6,7}
8
{\textstyle 8}
Wir nehmen an, dass die W-Funktion zur ZV
X
{\textstyle X}
X
⋅
Y
{\textstyle X\cdot Y}
Wert
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Wahrscheinlichkeit
P
(
X
=
k
)
?
0.26
0.17
0.14
0.09
0.08
0.06
0.04
0.03
{\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline {\text{Wert}}&k&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline {\text{Wahrscheinlichkeit}}&P(X=k)&?&0.26&0.17&0.14&0.09&0.08&0.06&0.04&0.03\\\hline \end{array}}}
Bestimmen Sie die fehlende Wahrscheinlichkeit
P
(
X
=
0
)
{\textstyle P(X=0)}
Berechnen Sie
E
(
X
)
{\textstyle E(X)}
V
(
X
)
{\textstyle V(X)}
σ
X
{\textstyle \sigma _{X}}
![{\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{m}\}\times \{b_{1},\ldots ,b_{\ell }\}\to [0,1]\ ,\ (a_{j},b_{k})\mapsto P(X=a_{j}\wedge Y=b_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece9f43e96eb9356a637eaca76b9d61e41df008f)
