Kurs:Statistik für Anwender/Wahrscheinlichkeitsbegriff
Wahrscheinlichkeitsbegriff Bearbeiten
Die Wahrscheinlichkeit ist eine Einstufung von Aussagen und Urteilen nach dem Grad der Gewissheit (Sicherheit). …Besondere Bedeutung hat dabei die Gewissheit von Vorhersagen. (Wikipedia)
Zufallsexperimente Bearbeiten
Ein Experiment heißt Zufallsexperiment (ZE), falls:
- Alle möglichen Ergebnisse vorab bekannt sind. Bei einer Durchführung des Experiments tritt genau eines der möglichen Ergebnisse ein.
- Das Ergebnis eines einzelnen Experiments nicht vorhergesagt werden kann.
Ergebnismenge : Menge aller möglichen Ergebnisse eines ZE
Beispiel Zufallsexperiment und Ergebnismenge I Bearbeiten
1. Das Werfen eines Würfels und das Feststellen der geworfenen Augenzahl hat die Ergebnismenge .
2. Das Werfen eines Würfels und das Feststellen, ob der Würfel vom Tisch fällt oder nicht hat die Ergebnismenge
= " fällt vom Tisch " , " bleibt auf dem Tisch liegen " .
3. Das Werfen zweier Würfel und das Feststellen der Augensumme hat die Ergebnismenge
.
Beispiele Zufallsexperiment und Ergebnismenge II Bearbeiten
4. Das Werfen eines roten und eines blauen Würfels und das Feststellen beider Augenzahlen, hat die Ergebnismenge
wobei bedeutet: Der rote Würfel zeigt die Zahl und der Blaue die Zahl .
5. Das Drehen des folgenden Glücksrades und das Feststellen der angezeigten Farbe hat die Ergebnismenge " grau " ," rot " , " gelb " , " grün " , " blau "
Beispiele Zufallsexperiment und Ergebnismenge III Bearbeiten
6. Das Bundesligaspiel des 1.FC Kaiserslautern am kommenden Wochenende und das Feststellen der dabei erreichten Punkte hat die Ergebnismenge .
7. Man würfelt mit einem Würfel solange bis erstmals eine gewürfelt wird und stellt die Zahl der Würfe fest. Die Ergebnismenge dieses ZE ist .
8. Man stellt die Zahl der Eier fest, die ein Fischweibchens abgelegt hat. Je nach Fischart sind
geeignete Ergbnismengen.
Beispiele Zufallsexperiment und Ergebnismenge IV Bearbeiten
9. Die Auswahl einer Glühbirne und das Feststellen der Brenndauer hat die Ergebnismenge , wobei bedeutet:" Die Glühbirne brennt Stunden."
10. Die Rotphase einer Ampel beträgt Sekunden. Man kommt zu einem zufälligen Zeitpunkt an die Ampel und stellt die Wartezeit fest. Die Ergebnismenge dieses ZE ist oder .
Wiederholbarkeit eines ZE Bearbeiten
Ein ZE heißt wiederholbar, falls es unter identischen Bedingungen (beliebig oft) wiederholt werden kann.
Beispiel Wiederholbarkeit Bearbeiten
In obigem Beispiel sind die ZE (1.)-(5.) und (7.) wiederholbar, (6.) ist nicht wiederholbar. Die ZE (8.)-(10.) können unter bestimmten Umständen als wiederholbar angesehen werden.
Aufgabe Bearbeiten
vgl. Weber, Zillmer: Stochastik, Gymnasiale Oberstufe, Lehrbuch (2001)
Im Hinblick auf welche Aspekte können die folgenden Vorgänge als ZE aufgefasst werden:
- Einschlag eines Meteoriten auf der nördlichen Erdhalbkugel
- Gütekontrolle von der laufenden Produktion entnommenen Bauteilen
- Umfrage bezüglich des Wahlverhaltens bei der Landtagswahl
Aufgabe Fortsetzung Bearbeiten
- Ziehung der Lottozahlen
- Trinkgeldeinnahmen einer Kellnerin
- Geburt eines Kindes
- Größe einer angesetzten Pilzkultur
- Füllmenge einer Flasche
- Spielansetzungen eines Fussballverein für eine Saison
Geben Sie jeweils denkbare Ergebnismengen an und überlegen Sie, ob das ZE wiederholbar ist.
Wir betrachten (zunächst) nur ZE mit .
Ereignisse Bearbeiten
Ist die Ergebnismenge eines ZE mit , so bezeichnet man jede Teilmenge als Ereignis. Die Menge aller Ereignisse ist demzufolge die sogenannte Potenzmenge
(man vergleiche mit Zufallsexperimente)
Beispiel Ereignis 1.) Bearbeiten
Beim Werfen eines Würfels mit gibt es beispielsweise die folgenden Ereignisse:
Beispiel Ereignis 4.) Bearbeiten
Beim Werfen eines roten und eines blauen Würfels mit gibt es beispielsweise die folgenden Ereignisse:
Beispiel Ereignis 6.) Bearbeiten
Beim ZE mit der Ergebnismenge gibt es insgesamt Ereignisse, nämlich:
Beispiel Ereignis 8.) Bearbeiten
Beim Feststellen der Zahl der abgelegten Eier eines Fischweibchens mit der Ergebnismenge gibt es beispielsweise die Ereignisse:
Anmerkungen Ereignis Bearbeiten
- Man beachte: Ist , so ist .
- Erhält man bei einer Durchführung des ZE das Ergebnis , so sagt man für ein Ereignis :
Beispiel Eintritt eines Ereignisses Bearbeiten
Erhält man in obigem Beispiel 1.) das Ergebnis , so sind und eingetreten und und nicht eingetreten.
Weitere Bezeichnungen für Ereignisse Bearbeiten
- als Und-Ereignis zweier Ereignisse
- als Oder-Ereignis zweier Ereignisse
- als Gegenereignis von
- als sicheres Ereignis
- als unmögliches Ereignis
- als Elementarereignis, falls ein Ergebnis ist
Beispiel Weitere Ereignisse Bearbeiten
In obigem Beispiel (1.) ist:
Aufgabe Bearbeiten
In einer Lostrommel befinden sich 10 Kugeln mit den Nummern . Eine Kugel wird gezogen. Geben Sie eine Ergebnismenge an, bezüglich der das ZE ein Laplace-Experiment ist. Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von und berechnen Sie ihre Wahrscheinlichkeit.
Laplace-Wahrscheinlichkeiten Bearbeiten
Ist die Ergebnismenge eines ZE (mit ), so kann man jedem Ereignis die Wahrscheinlichkeit
zuweisen. Dies ist sinnvoll, wenn man davon ausgeht, dass alle Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten, es gilt dann
Beispiele Laplace-Wahrscheinlichkeiten Bearbeiten
(man vergleiche mit Zufallsexperimente)
Beispiele Laplace-Wahrscheinlichkeiten I Bearbeiten
1.) Beim Werfen eines Würfels mit sind Laplace-Wahrscheinlichkeiten angebracht. Es gilt . Für die Ereignisse aus Ereignisse gilt:
2.) Beim Werfen eines Würfels mit " fällt vom Tisch " , " bleibt auf dem Tisch liegen " sind Laplace-Wahrscheinlichkeiten nicht angebracht.
Beispiele Laplace-Wahrscheinlichkeiten II Bearbeiten
3.) Beim Werfen zweier Würfel mit der Ergebnismenge (Augensumme) sind Laplace-Wahrscheinlichkeiten nicht angebracht.
4.) Beim Werfen eines roten und eines blauen Würfels mit sind Laplace-Wahrscheinlichkeiten angebracht. Es gilt . Für die Ereignisse aus Ereignisse gilt:
Beispiele Laplace-Wahrscheinlichkeiten III Bearbeiten
5.) Beim Drehen des dargestellten Glücksrads sind Laplace-Wahrscheinlichkeiten nicht angebracht, da die Winkel der einzelnen Sektoren nicht gleich groß sind.
6.) Beim Fußballspiel mit der Ergebnismenge sind Laplace-Wahrscheinlichkeiten nicht angebracht.
Laplace-Experiment Bearbeiten
Man nennt dann das ZE ein Laplace-Experiment und die Laplace-Wahrscheinlichkeit von .
Ereignisse eines Laplace-Experiments Bearbeiten
Für alle Ereignisse eines Laplace-Experiments gilt:
- Falls gilt, so folgt . Falls gilt, so folgt .
- Falls ist, so gilt .
- Gilt , so folgt .
Aufgabe: Bearbeiten
In einer Lostrommel befinden sich 10 Kugeln mit den Nummern .
Aufgabe 1.1 Bearbeiten
Eine Kugel wird gezogen. Geben Sie eine Ergebnismenge an, bezüglich der das ZE ein Laplace-Experiment ist. Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von und berechnen Sie ihre Wahrscheinlichkeit.
Aufgabe 1.2 Bearbeiten
Zwei Kugeln werden mit Zurücklegen gezogen. Geben Sie eine Ergebnismenge an, bezüglich der das ZE ein Laplace-Experiment ist. Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von und berechnen Sie ihre Wahrscheinlichkeit.
Aufgabe 1.3 Bearbeiten
Behandeln Sie Teil (2.) für den Fall, dass die Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.
Frequentistische Wahrscheinlichkeiten Bearbeiten
Führt man ein wiederholbares ZE mit Ergebnismenge oft ( -mal) durch, so definiert man für alle
Man nennt die absolute Häufigkeit von bei Versuchen und die relative Häufigkeit von bei Versuchen.
Beispiel Frequentistische Wahrscheinlichkeiten I Bearbeiten
Ein Plastikdeckel wird fallengelassen. Bei diesem (wiederholbaren) ZE unterscheidet man die drei Ergebnisse:
Das ZE wird nun -mal durchgeführt. Dabei beobachte man -mal das Ergebnis , -mal das Ergebnis und -mal das Ergebnis . Wir betrachten nun alle Ereignisse:
Beispiel Frequentistische Wahrscheinlichkeiten II Bearbeiten
Anmerkungen zur relativen Häufigkeit Bearbeiten
Für die relativen Häufigkeiten gilt (für alle ):
- Es kann gelten, auch wenn ist. Es kann gelten, auch wenn ist.
- Falls ist, so gilt .
- Gilt , so folgt .
Empirische Gesetz der großen Zahlen Bearbeiten
Bei wiederholbaren ZE beobachtet man das sogenannte Empirische Gesetz der großen Zahlen. Es besagt:
Dabei handelt es sich um ein Naturgesetz und nicht um eine mathematische Aussage. Der Grenzwert muss nicht existieren.
Interpretation von relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten Bearbeiten
Es stellt sich nun die Frage, ob es sinnvoll ist, die relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten zu interpretieren (frequentistische Wahrscheinlichkeiten).
Contra Bearbeiten
- Führt man weitere Versuche durch (oder startet man eine neue Serie), so verändern sich die relativen Häufigkeiten. Man kann auf diese Art und Weise also keinen bestimmten Wert für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ermitteln.
- Die relativen Häufigkeiten hängen vom Zufall ab. Bei einer festen Versuchszahl gibt es keine Garantie dafür, dass die relative Häufigkeit sehr weit von dem wahren Wert der Wahrscheinlichkeit entfernt ist (es ist bei großem zwar unwahrscheinlich, aber nichtsdestotrotz möglich).
Pro Bearbeiten
- Das Empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass die Schwankungen der relativen Häufigkeiten bei hoher Versuchszahl (normalerweise) klein sind. Es ist dann extrem wahrscheinlich, dass die relativen Häufigkeiten nahe bei der wahren Wahrscheinlichkeit liegen.
- Oft gibt es keine bessere Methode, Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.
Relative Häufigkeit als Schätzung für Wahrscheinlichkeit I Bearbeiten
Die relative Häufigkeit ist also eine Schätzung für die Wahrscheinlichkeit. In der schließenden Statistik (Vorlesung ’Statistik für Anwender II’) werden Methoden entwickelt, mit denen solche Schätzungen auch quantitativ beurteilt werden können.
Nach dem Empirischen Gesetz der großen Zahlen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten bei einer Zahl . Dies bedeutet aber nicht, dass sich die Differenzen
ebenfalls stabilisieren.
Relative Häufigkeit als Schätzung für Wahrscheinlichkeit II Bearbeiten
Im Gegenteil beobachtet man (auch hierbei handelt es sich um eine rein empirische Aussage), dass diese Differenzen bei wachsendem stark schwanken (und dabei jede vorgegebene Schranke über- oder untertreffen).
Subjektive und deterministische Wahrscheinlichkeiten Bearbeiten
Bei einem ZE kann man jedem Ergebnis eine Wahrscheinlichkeitseinschätzung, also eine Zahl zuordnen. (Diese Zahl ist ein subjektives Maß für den Grad der persönlichen Überzeugung und kann nicht mathematisch begründet werden (subjektive Wahrscheinlichkeit). Sie kann sich verändern, wenn man neue Erkenntnisse gewinnt.)
Alternativ kann auch aus theoretischen Überlegungen gewonnen werden (deterministische Wahrscheinlichkeit).
Es muss stets gelten. Für ergibt sich dann:
Beispiel subjektive Wahrscheinlichkeit Bearbeiten
(man vergleiche mit Zufallsexperimente)
Bei dem Fußballspiel des 1.FCK am kommenden Wochenende mit der Ergebnismenge ist eine subjektive Einschätzung erforderlich, beispielsweise:
Beispiel deterministische Wahrscheinlichkeit I Bearbeiten
Bei dem Drehen des Glücksrads macht es (aufgrund der Symmetrie des Rades) Sinn, als Wahrscheinlichkeit für ein den Wert
Beispiel deterministische Wahrscheinlichkeit II Bearbeiten
Aufgabe 1.1 Bearbeiten
Ein Schüler hat eine Arbeit geschrieben, bei der die Noten möglich sind. Danach nimmt er folgende (subjektive) Einschätzungen vor:
- Die Chance, dass er entweder eine 1 oder eine 2 erhält, schätzt er auf .
- Die Chance, dass er entweder eine 2 oder eine 3 erhält, schätzt er auf .
- Die Chance, dass er entweder eine 3 oder eine 4 erhält, schätzt er auf .
- Die Chance, dass er entweder eine 4 oder eine 5 erhält, schätzt er auf .
- Er ist sich absolut sicher, dass er keine 6 erhält.
Aufgabe 1.2 Bearbeiten
Wie groß ist demnach die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Noten?
Aufgabe 2.1 Bearbeiten
An einer Bushaltestelle fahren vier Linien zur Universität. Sie fahren immer im stündlichen Rhythmus ab und zwar:
Linie 1 immer zur vollen Stunde
Linie 2 immer um 12 Minuten nach der vollen Stunde
Linie 3 immer um 28 Minuten nach der vollen Stunde
Linie 4 immer um 42 Minuten nach der vollen Stunde
Aufgabe 2.2 Bearbeiten
Ein Student, der seine Uhr verloren hat, begibt sich nach dem Aufstehen zur Haltestelle und nimmt den nächsten Bus zur Universität. Weisen Sie den 4 Linien sinnvolle (deterministische) Wahrscheinlichkeiten zu. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student eine der Linien 1 oder 3 erwischt?
Wahrscheinlichkeitsmaße Bearbeiten
Wahrscheinlichkeitsmaß und Wahrscheinlichkeitsraum Bearbeiten
Ist , so heißt eine Funktion mit
- für alle (Nichtnegativität)
- (Normiertheit)
- für alle mit (Additivität)
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf . Man nennt dann (bzw. ) einen Wahrscheinlichkeitsraum.
Eigenschaften Wahrscheinlichkeitsmaß und Wahrscheinlichkeitsraum Bearbeiten
Weitere Eigenschaften lassen sich aus diesen Axiomen ableiten. Ist ein Wahrscheinlichkeitsraum, so gilt zwingend für alle :
- und
- Für gilt . Genauer gilt dann .
- , falls mit
Festlegung eines Wahrscheinlichkeitsraum I Bearbeiten
Für die Festlegung eines W-Raumes gibt es (aus Sicht der Mathematik) bis auf obige Axiome keine Vorgaben. Wir haben verschiedene Ansätze vorgestellt, mit denen man zu einem W-Maß kommen kann. Dabei handelt es sich um die Bildung eines Modells, dessen Gültigkeit nicht mit rein mathematischen Methoden belegt werden kann. Hat man jedoch einen (sinnvollen) W-Raum festgelegt, so kann man damit innermathematisch weiterarbeiten und neue Erkenntnisse gewinnen. (Diese kann man dann wiederum (im Sinne eines Modellbildungskreislaufs) einsetzen, um das Modell (also die Festlegung des W-Raumes) erneut zu hinterfragen.)
Festlegung eines Wahrscheinlichkeitsraum II Bearbeiten
Innerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung arbeitet man meist gegebenen W-Räumen. Man geht also davon aus, dass man bereits über ein geeignetes Modell verfügt. (Die Wahl dieses Modells kann dabei in manchen Fällen mit Hilfe geeigneter Annahmen begründet werden.)
In der Praxis stellt sich oft ein anderes (schwierigeres) Problem: Mithilfe von zufälligen Beobachtungen (typischerweise von vielen Durchführungen eines ZE) soll das zugrundeliegende Modell (also der W-Raum) hinterfragt werden. Dies ist Gegenstand der schließenden Statistik (Vorlesung ’Statistik für Anwender’).
Aufgabe 1.1 Bearbeiten
Begründen Sie, ob die Laplace-Verteilung eines Würfels ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Überprüfen Sie die Eigenschaften anhand mehrerer Beisiele oder Argumentieren Sie logisch.
Überprüfen Sie auch, anhand von Beispielen für einen Würfel oder begründen Sie, weshalb die folgenden Eigenschaften aus den Eigenschaften für ein Wahrscheinlichkeitsmaß folgern.
Aufgabe 1.2 Bearbeiten
- Falls ist, gilt . Es gilt sogar
- falls mit für
Aufgabe 2.1 Bearbeiten
Würfeln Sie mit einem Würfel mal und notieren Sie die Anzahl der gewürfelten Augenzahl in der unten stehenden Tabelle unter (Wenn Sie wollen, können Sie diesen Würfelsimulator verwenden, er notiert auch direkt die Häufigkeit der geworfenen Augenzahl: https://www.mathematik.tu-clausthal.de/interaktiv/simulation/wuerfelsimulator ). Bestimmen Sie die absoluten Häufigkeiten und relativen Häufigkeiten. Was fällt Ihnen auf und was vermuten Sie? Vergleichen Sie dafür die relativen Häufigkeiten mit den Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Elementarereignisse mit mit . Geben Sie auch selbst an.
Aufgabe 2.2 Bearbeiten
Bestimmen Sie sowohl die subjektive Wahrscheinlichkeit sowie die deterministische Wahrscheinlichkeit für die Menge der Primzahlen und die Menge der geraden Zahlen .
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