Kurs:Statistik für Anwender/Weitere diskrete Zufallsvariablen

Weitere diskrete ZV

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Die nachfolgenden ZV werden hier kurz vorgestellt. Selbstverständlich können auch für die Parameter dieser Verteilungen Punkt- und Intervallschätzungen vorgenommen werden, es soll hier jedoch nicht weiter darauf eingegangen werden.

Poisson-verteilte ZV

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Die Zufallsvariable   heißt Poisson-verteilt mit der durch Beobachtung zu erwartenden Ereignishäufigkeit   , wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben ist durch
 
für  .

Die Poissonverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl von Ereignissen an, die unabhängig voneinander in einem räumlichen Gebiet oder zeitlichen Intervall auftreten. Ist   Poisson-verteilt mit Parameter  , so gilt
 
und
 


Beispiel 1

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Mit   (blau),   (grün) und   (rot).

 

Rekursionformel

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Für die Poissonverteilung gilt die Rekursionsformel
 
für   und es gilt  .

Es folgt wie zuvor für
 
und für
 .

Kumulierte Verteilung

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Da bei der Poissonverteilung jedoch theoretisch gesehen unendlich viele Ereignisse in dem betrachteten Intervall auftreten können, wird die kumulierte Verteilung für   mittels einer unendlichen Summe dargestellt:  

Anmerkung 1

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Dennoch gilt die Normierbarkeit, da die Wahrschienlichkeiten für   abnehmen und sich beliebig nahe an die   annähern. Somit liegt zwar eine unendliche Summe vor, diese konvergiert jedoch, d.h. hat einen endlichen Wert, nämlich
 

Beispiel 2.1

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An einer radioaktiven Probe aus Uran werden pro Sekunde im Mittel   Zerfälle gemessen. Die Zufallsvariable  , welche die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde angibt, ist somit Poissonverteilt und es ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
 
Daraus resultieren die folgenden Wahrscheinlichkeiten für  :
 

Beispiel 2.2

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Kommentar:  , andere Zerfälle sind auch möglich, aber die Wahrscheinlichkeiten sind so gering, dass sie nicht weiter aufgeführt werden.

 

Anmerkung 2

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Die Poissonverteilung stellt den Grenzwert für eine binomialverteilte ZV mit unendlich vielen Versuchen dar.

Aufgabe 1

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Gegeben sei eine Poissonverteilte ZV   mit  . Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Geometrisch verteilte ZV

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Zufallsexperimente mit geometrisch verteilten ZV können als Spezialfälle binomialverteilter ZV betrachtet werden, wobei hier zwischen zwei Varianten unterschieden wird:

  1. Durchführen eines binomialverteilten Zufallsexperiemnt, bis ein "Treffer "
    erzielt wird und die ZV   gibt die Anzahl der Versuche an.
  2. Durchführen eines binomailverteilten Zufallsexperiment, bis ein "Treffer"erzielt wird und die ZV   gibt die Anzahl der Fehlversuche an.

Beispiel 1

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Zu Fall 1 (Anzahl der Versuche) mit   (blau),   (grün) und   (rot).

 

Beispiel 2

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Zu Fall 2 (Anzahl der Fehlversuche) mit   (blau),   (grün) und   (rot).
 

Zusammenhang zwischen den Varianten

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Die beiden Varianten stehen in der Beziehung  .


Somit ergeben sich die beiden folgenden Formeln für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit:

Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für X

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Für die ZV   gilt:
 
 
 
 
 

Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für Y

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Für die ZV   gilt:
 
 
 
 
 

Beispiel 3

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Werfen einer Münze bis zum Eintreten von Kopf.
 
 
 
 

 


In R wird die zweite Varainte betrachtet, welche die Anzahl der Fehlversuche zählt, https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/Geometric.html

Aufgabe 2

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Gegeben Sei die geometrisch verteilte ZV   mit  . Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und die folgenden Wahrscheinlichkeiten (Variante 2):

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

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