Die nachfolgenden ZV werden hier kurz vorgestellt. Selbstverständlich können auch für die Parameter dieser Verteilungen Punkt- und Intervallschätzungen vorgenommen werden, es soll hier jedoch nicht weiter darauf eingegangen werden.
Poisson-verteilte ZV
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Die Zufallsvariable
X
{\textstyle X}
Poisson-verteilt mit der durch Beobachtung zu erwartenden Ereignishäufigkeit
λ
{\textstyle \lambda }
P
(
X
=
x
)
=
λ
x
x
!
e
−
λ
{\displaystyle P(X=x)={\frac {\lambda ^{x}}{x!}}e^{-\lambda }}
x
∈
N
{\textstyle x\in \mathbb {N} }
Die Poissonverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl von Ereignissen an, die unabhängig voneinander in einem räumlichen Gebiet oder zeitlichen Intervall auftreten. Ist
X
{\textstyle X}
λ
{\textstyle \lambda }
E
(
X
)
=
λ
{\displaystyle E(X)=\lambda }
V
a
r
(
X
)
=
λ
{\displaystyle Var(X)=\lambda }
Mit
λ
=
1
{\textstyle \lambda =1}
λ
=
5
{\textstyle \lambda =5}
λ
=
10
{\textstyle \lambda =10}
Für die Poissonverteilung gilt die Rekursionsformel
P
(
X
=
x
)
=
λ
k
⋅
P
(
X
=
x
−
1
)
{\displaystyle P(X=x)={\frac {\lambda }{k}}\cdot P(X=x-1)}
x
∈
N
∖
{
0
}
{\textstyle x\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
P
(
X
=
0
)
=
e
−
λ
{\textstyle P(X=0)=e^{-\lambda }}
Es folgt wie zuvor für
P
(
X
≤
x
)
=
∑
j
=
0
x
λ
j
j
!
e
−
λ
{\displaystyle P(X\leq x)=\sum \limits _{j=0}^{x}{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }}
P
(
x
≤
X
≤
ℓ
)
=
∑
j
=
x
ℓ
λ
j
j
!
e
−
λ
{\displaystyle P(x\leq X\leq \ell )=\sum \limits _{j=x}^{\ell }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }}
Kumulierte Verteilung
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Da bei der Poissonverteilung jedoch theoretisch gesehen unendlich viele Ereignisse in dem betrachteten Intervall auftreten können, wird die kumulierte Verteilung für
P
(
X
≥
x
)
{\textstyle P(X\geq x)}
P
(
X
≥
x
)
=
∑
j
=
x
∞
λ
j
j
!
e
−
λ
.
{\displaystyle P(X\geq x)=\sum \limits _{j=x}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }.}
Dennoch gilt die Normierbarkeit, da die Wahrschienlichkeiten für
x
>
λ
{\textstyle x>\lambda }
0
{\textstyle 0}
P
(
x
∈
Ω
)
=
∑
x
=
0
∞
P
(
X
=
x
)
=
1
{\displaystyle P(x\in \Omega )=\sum _{x=0}^{\infty }P(X=x)=1}
An einer radioaktiven Probe aus Uran werden pro Sekunde im Mittel
λ
=
4.5
{\textstyle \lambda =4.5}
X
{\textstyle X}
P
(
X
=
x
)
=
4.5
x
x
!
e
−
4.5
{\displaystyle P(X=x)={\frac {4.5^{x}}{x!}}e^{-4.5}}
x
=
0
,
.
.
.10
{\textstyle x=0,...10}
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
(
X
=
x
)
0.0111
0.05
0.1125
0.1687
0.1898
0.1708
0.1281
0.0824
0.0463
0.0232
0.0104
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline P(X=x)&0.0111&0.05&0.1125&0.1687&0.1898&0.1708&0.1281&0.0824&0.0463&0.0232&0.0104\\\hline \end{array}}}
P
(
X
≥
3
)
=
0.8264
{\displaystyle P(X\geq 3)=0.8264}
P
(
X
≤
5
)
=
0.7029
{\displaystyle P(X\leq 5)=0.7029}
P
(
3
≤
X
≤
6
)
=
0.6574
{\displaystyle P(3\leq X\leq 6)=0.6574}
∑
x
=
0
10
P
(
X
=
x
)
=
0.9928
{\textstyle \sum _{x=0}^{10}P(X=x)=0.9928}
In
R:
dpois(
x
,
λ
)
ergibt:
P
(
X
=
x
)
=
λ
x
x
!
e
−
λ
ppois(
x
,
λ
)
ergibt:
P
(
X
≤
x
)
=
∑
j
=
0
x
λ
j
j
!
e
−
λ
1
−
ppois(
x
−
1
,
λ
)
ergibt:
P
(
X
≥
x
)
=
∑
j
=
x
∞
λ
j
j
!
e
−
λ
ppois(
ℓ
,
λ
)
−
ppois(
x
−
1
,
λ
)
ergibt:
P
(
k
≤
T
≤
ℓ
)
=
∑
j
=
x
ℓ
λ
j
j
!
e
−
λ
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{In}}\\\color {blue}{\text{R:}}&\quad \color {blue}{{\text{dpois(}}x,\lambda )}&{\text{ergibt:}}&P(X=x)&=&{\frac {\lambda ^{x}}{x!}}e^{-\lambda }\\\hline \\&\quad \color {blue}{{\text{ppois(}}x,\lambda )}&{\text{ergibt:}}&P(X\leq x)&=&\sum \limits _{j=0}^{x}{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }\\\hline \\&\quad \color {blue}{1-{\text{ppois(}}x-1,\lambda )}&{\text{ergibt:}}&P(X\geq x)&=&\sum \limits _{j=x}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }\\\hline \\&\quad \color {blue}{{\text{ppois(}}\ell ,\lambda )-{\text{ppois(}}x-1,\lambda )}&{\text{ergibt:}}&P(k\leq T\leq \ell )&=&\sum \limits _{j=x}^{\ell }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }\\\hline \end{array}}}
Die Poissonverteilung stellt den Grenzwert für eine binomialverteilte ZV mit unendlich vielen Versuchen dar.
Gegeben sei eine Poissonverteilte ZV
P
{\textstyle P}
λ
=
17
{\textstyle \lambda =17}
P
(
P
=
17
)
{\textstyle P(P=17)}
P
(
P
≤
20
)
{\textstyle P(P\leq 20)}
P
(
5
≤
P
≤
15
)
{\textstyle P(5\leq P\leq 15)}
P
(
15
≤
P
≤
19
)
{\textstyle P(15\leq P\leq 19)}
P
(
P
≥
8
)
{\textstyle P(P\geq 8)}
Geometrisch verteilte ZV
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Zufallsexperimente mit geometrisch verteilten ZV können als Spezialfälle binomialverteilter ZV betrachtet werden, wobei hier zwischen zwei Varianten unterschieden wird:
Durchführen eines binomialverteilten Zufallsexperiemnt, bis ein "Treffer "
X
{\textstyle X}
Durchführen eines binomailverteilten Zufallsexperiment, bis ein "Treffer"erzielt wird und die ZV
Y
{\textstyle Y}
Zu Fall 1 (Anzahl der Versuche) mit
p
=
0.2
{\textstyle p=0.2}
p
=
0.5
{\textstyle p=0.5}
p
=
0.8
{\textstyle p=0.8}
Zu Fall 2 (Anzahl der Fehlversuche) mit
p
=
0.2
{\textstyle p=0.2}
p
=
0.5
{\textstyle p=0.5}
p
=
0.8
{\textstyle p=0.8}
Zusammenhang zwischen den Varianten
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Die beiden Varianten stehen in der Beziehung
X
=
Y
+
1
{\textstyle X=Y+1}
Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für X
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Für die ZV
X
{\textstyle X}
P
(
X
=
n
)
=
p
⋅
(
1
−
p
)
n
−
1
(
n
=
1
,
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle P(X=n)=p\cdot (1-p)^{n-1}\quad (n=1,2,...)}
P
(
X
≤
n
)
=
∑
i
=
1
n
p
⋅
(
1
−
p
)
i
−
1
=
1
−
(
1
−
p
)
n
{\displaystyle P(X\leq n)=\sum _{i=1}^{n}p\cdot (1-p)^{i-1}=1-(1-p)^{n}}
P
(
X
≥
n
)
=
∑
i
=
n
∞
p
⋅
(
1
−
p
)
i
−
1
=
1
−
(
1
−
(
1
−
p
)
n
)
=
(
1
−
p
)
n
−
1
{\displaystyle P(X\geq n)=\sum _{i=n}^{\infty }p\cdot (1-p)^{i-1}=1-(1-(1-p)^{n})=(1-p)^{n-1}}
E
(
X
)
=
1
p
{\displaystyle E(X)={\frac {1}{p}}}
V
a
r
(
X
)
=
1
−
p
p
2
{\displaystyle Var(X)={\frac {1-p}{p^{2}}}}
Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für Y
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Für die ZV
Y
{\textstyle Y}
P
(
Y
=
n
)
=
p
⋅
(
1
−
p
)
n
(
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle P(Y=n)=p\cdot (1-p)^{n}\quad (n=0,1,2,...)}
P
(
Y
≤
n
)
=
∑
i
=
1
n
p
⋅
(
1
−
p
)
i
=
1
−
(
1
−
p
)
n
+
1
{\displaystyle P(Y\leq n)=\sum _{i=1}^{n}p\cdot (1-p)^{i}=1-(1-p)^{n+1}}
P
(
Y
≥
n
)
=
∑
i
=
n
∞
p
⋅
(
1
−
p
)
i
=
1
−
(
1
−
(
1
−
p
)
n
+
1
)
=
(
1
−
p
)
n
{\displaystyle P(Y\geq n)=\sum _{i=n}^{\infty }p\cdot (1-p)^{i}=1-(1-(1-p)^{n+1})=(1-p)^{n}}
E
(
Y
)
=
1
−
p
p
{\displaystyle E(Y)={\frac {1-p}{p}}}
V
a
r
(
Y
)
=
V
a
r
(
X
)
{\displaystyle Var(Y)=Var(X)}
Werfen einer Münze bis zum Eintreten von Kopf.
P
(
X
≤
3
)
=
0.875
{\displaystyle P(X\leq 3)=0.875}
P
(
Y
≤
3
)
=
0.9375
{\displaystyle P(Y\leq 3)=0.9375}
P
(
X
=
5
)
=
0.0313
{\displaystyle P(X=5)=0.0313}
P
(
Y
=
5
)
=
0.0156
{\displaystyle P(Y=5)=0.0156}
In
R:
dgeom(
n
,
p
)
ergibt:
P
(
Y
=
n
)
=
p
⋅
(
1
−
p
)
n
−
1
pgeom(
n
,
p
)
ergibt:
P
(
Y
≤
n
)
=
p
⋅
∑
i
=
1
n
(
1
−
p
)
i
−
1
1
−
pgeom(
n
−
1
,
p
)
ergibt:
P
(
Y
≥
n
)
=
p
⋅
∑
i
=
n
∞
(
1
−
p
)
i
−
1
pgeom(
ℓ
,
p
)
−
pgeom(
n
−
1
,
p
)
ergibt:
P
(
n
≤
Y
≤
ℓ
)
=
p
⋅
∑
i
=
n
ℓ
(
1
−
p
)
i
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{In}}\\\color {blue}{\text{R:}}&\quad \color {blue}{{\text{dgeom(}}n,p)}&{\text{ergibt:}}&P(Y=n)&=&p\cdot (1-p)^{n-1}\\\hline \\&\quad \color {blue}{{\text{pgeom(}}n,p)}&{\text{ergibt:}}&P(Y\leq n)&=&p\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}(1-p)^{i-1}\\\hline \\&\quad \color {blue}{1-{\text{pgeom(}}n-1,p)}&{\text{ergibt:}}&P(Y\geq n)&=&p\cdot \sum \limits _{i=n}^{\infty }(1-p)^{i-1}\\\hline \\&\quad \color {blue}{{\text{pgeom(}}\ell ,p)-{\text{pgeom(}}n-1,p)}&{\text{ergibt:}}&P(n\leq Y\leq \ell )&=&p\cdot \sum \limits _{i=n}^{\ell }(1-p)^{i-1}\\\hline \end{array}}}
https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/Geometric.html
Gegeben Sei die geometrisch verteilte ZV
G
{\textstyle G}
p
=
0.7
{\textstyle p=0.7}
P
(
G
=
7
)
{\textstyle P(G=7)}
P
(
G
≤
14
)
{\textstyle P(G\leq 14)}
P
(
2
≤
G
≤
5
)
{\textstyle P(2\leq G\leq 5)}
P
(
8
≤
G
≤
17
)
{\textstyle P(8\leq G\leq 17)}
P
(
G
≥
4
)
{\textstyle P(G\geq 4)}
