Kurs:Statistik für Anwender/Zufallsvariablen

Zufallsvariablen

Diskrete Zufallsvariable und Bild

Gegeben sei ein endlicher W-Raum ${\textstyle (\Omega ,P)}$ (zugehörig zu einem ZE). Eine Funktion ${\textstyle Z:\Omega \to \mathbb {R} }$, die jedem möglichen Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet, heißt diskrete Zufallsvariable (ZV).

Die Menge ${\textstyle Z(\Omega )=\{Z(\omega );\ \omega \in \Omega \}}$ aller Werte (Realisationen), die die ZV ${\textstyle Z}$ annehmen kann, nennt man das Bild von ${\textstyle \mathbf {Z} }$.

Ist ${\textstyle Z:\Omega \to \mathbb {R} }$ eine ZV, so schreibt man für eine Zahl ${\textstyle x\in \mathbb {R} }$ auch

$$\{Z=x\}=\{\omega \in \Omega ;\ Z(\omega )=x\}\quad {\text{und}}$$

$$\quad P\left(Z=x\right)=P\left(\{Z=x\}\right)=P\left(\{\omega \in \Omega ;\ Z(\omega )=x\}\right)$$

(Man beachte, dass ${\textstyle \{Z=x\}=\emptyset }$ und folglich ${\textstyle P(Z=x)=0}$ ist, falls ${\textstyle x\notin Z(\Omega )}$ ist.)

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Um eine diskrete ZV ${\textstyle Z}$ zu untersuchen, kann man oft auf eine Beschreibung des W-Raumes ${\textstyle (\Omega ,P)}$ verzichten und nur das Bild ${\textstyle Z(\Omega )}$ sowie die Wahrscheinlichkeiten ${\textstyle P(Z=x)}$ für ${\textstyle x\in Z(\Omega )}$ angeben. Zusammen nennt man dies die Wahrscheinlichkeitsverteilung (W-Verteilung) von ${\textstyle \mathbf {Z} }$.
Es gilt stets: ${\textstyle \quad \sum \limits _{x\in Z(\omega )}P(Z=x)=1}$
(Eine Beschreibung des W-Raumes kann aber manchmal helfen, um die Wahrscheinlichkeiten ${\textstyle P(Z=x)}$ überhaupt zu bestimmen.)

W-Verteilung und Modelle

Wahrschienlichkeitsverteilungen, unabhängig davon, ob sie stetig oder diskret sind, sind immer Modelle, welche die Realität mehr oder weniger gut abbilden.

Beispiele

Beispiel I

Die ZV ${\textstyle X}$ gibt die Augenzahl eines Würfels an. Dann hat man ${\textstyle \Omega =\{1,\ldots ,6\}}$ und ${\textstyle X(i)=i\ {\text{für alle}}\ i\in \Omega }$. Also: ${\textstyle X(\Omega )=\{1,\ldots ,6\}}$ und

$$P(X=1)={\frac {1}{6}},\quad P(X=2)={\frac {1}{6}},\quad P(X=3)={\frac {1}{6}},$$

$$P(X=4)={\frac {1}{6}},\quad P(X=5)={\frac {1}{6}},\quad P(X=6)={\frac {1}{6}}.$$

Beispiel II

Die ZV ${\textstyle Y}$ gibt die das Quadrat der Augenzahl eines Würfels an. Dann hat man ${\textstyle \Omega =\{1,\ldots ,6\}}$ und ${\textstyle Y(i)=i^{2}\ {\text{für alle}}\ i\in \Omega }$. Also: ${\textstyle Y(\Omega )=\{1,4,9,16,25,36\}}$ und

$$P(Y=1)={\frac {1}{6}},\quad P(Y=4)={\frac {1}{6}},\quad P(Y=9)={\frac {1}{6}},$$

$$P(Y=16)={\frac {1}{6}},\quad P(Y=25)={\frac {1}{6}},\quad P(Y=36)={\frac {1}{6}}.$$

Beispiel III

Die ZV ${\textstyle Z}$ beschreibt die Augensumme zweier Würfel. Dann hat man ${\textstyle \Omega =\{1,\ldots ,6\}^{2}}$ und ${\textstyle Z((i,j))=i+j\ {\text{für alle}}\ (i,j)\in \Omega }$. Also: ${\textstyle Z(\Omega )=\{2,\ldots ,12\}}$ und

$${\begin{array}{|rclcl|}\hline P(Z=2)&=&{\frac {1}{36}}\\P(Z=3)&=&{\frac {2}{36}}\\P(Z=4)&=&{\frac {3}{36}}\\P(Z=5)&=&{\frac {4}{36}}\\P(Z=6)&=&{\frac {5}{36}}\\P(Z=7)&=&{\frac {6}{36}}\\P(Z=8)&=&{\frac {5}{36}}\\P(Z=9)&=&{\frac {4}{36}}\\P(Z=10)&=&{\frac {3}{36}}\\P(Z=11)&=&{\frac {2}{36}}\\P(Z=12)&=&{\frac {1}{36}}\\\hline \end{array}}$$

Beispiel IV

Bei einem Glücksspiel befinden sich ${\textstyle 1}$ rote, ${\textstyle 4}$ schwarze und ${\textstyle 15}$ weiße Kugeln in einer Lostrommel.

• Man darf eine Kugel ziehen. Zieht man die Rote gewinnt man ${\textstyle 20}$ Euro, zieht man eine Schwarze gewinnt man ${\textstyle 5}$ Euro, zieht man eine Weiße gewinnt man nichts. Die ZV ${\textstyle G}$, die den Gewinn beschreibt, hat als Bild ${\textstyle G(\Omega )=\{0,5,20\}}$ und es gilt:
  $$P(G=0)=0.75,\quad P(G=5)=0.2,\quad P(G=20)=0.05$$

Beispiel V

• Nun darf man zwei Kugeln mit Zurücklegen ziehen. Die ZV ${\textstyle G_{2}}$ beschreibt den Gesamtgewinn. Man berechnet ${\textstyle G_{2}(\Omega )=\{0,5,10,20,25,40\}}$ und:
  
  $${\begin{array}{|c|c|c|}\hline P(G_{2}=0)=0.5625&P(G_{2}=5)=0.3&P(G_{2}=10)=0.04\\\hline P(G_{2}=20)=0.075&P(G_{2}=25)=0.02&P(G_{2}=40)=0.0025\\\hline \end{array}}$$

Beispiel VI

• Nun darf man zwei Kugeln ohne Zurücklegen ziehen. Die ZV ${\textstyle {\tilde {G_{2}}}}$ beschreibt den Gesamtgewinn. Man berechnet ${\textstyle {\tilde {G_{2}}}(\Omega )=\{0,5,10,20,25\}}$ und:
  
  $${\begin{array}{|c|c|c|}\hline P({\tilde {G_{2}}}=0)=0.5526&P({\tilde {G_{2}}}=5)=0.3158&P({\tilde {G_{2}}}=10)=0.0316\\\hline P({\tilde {G_{2}}}=20)=0.0789&P({\tilde {G_{2}}}=25)=0.0211&\\\hline \end{array}}$$
  
  (Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten können durch die Aufstellung eines geeigneten W-Raums bestimmt werden, man kann aber auch anders vorgehen, z.B. mittels Erstellung von Baumdiagrammen.)

Erwartungswert und Standardabweichung einer diskreten ZV

Sei ${\textstyle (\Omega ,P)}$ ein endlicher oder abzählbarer W-Raum und ${\textstyle Z:\Omega \to \mathbb {R} }$ eine (diskrete) ZV auf ${\textstyle \Omega }$. Dann heißen:

$${\begin{array}{rcll}\mu _{Z}=E(Z)&=&\sum \limits _{x\in Z(\Omega )}P(Z=x)\cdot x&{\text{Erwartungswert von }}Z\\V(Z)&=&\sum \limits _{x\in Z(\Omega )}P(Z=x)\cdot \left(x-E(Z)\right)^{2}&{\text{Varianz von }}Z\\\sigma _{Z}&=&{\sqrt {V(Z)}}&{\text{Standardabweichung von }}Z\end{array}}$$

Verschiebungssatz

Für die Varianz gilt ebenso wie für die empirische Varianz der Verschiebungssatz: Für eine endliche ZV ${\textstyle X}$, die die Werte ${\textstyle a_{1},...,a_{m}\in \mathbb {R} }$ annehmen kann, gilt stets:

$$V(X)=\sum _{k=1}^{m}P(X=a_{k})\cdot a_{k}^{2}-E(X)^{2}$$

Beispiele

(vergleiche Beispiele)

Beispiel I

Für die ZV ${\textstyle X,Y,Z}$ gilt:

• Der Erwartungswert von ${\textstyle X}$ ist:
  
  $$E(X)=3.5$$
  
  Die Varianz von ${\textstyle X}$ ist:
  
  $$V(X)=2.917$$
  
  Daraus ergibt sich ${\textstyle \sigma _{X}=1.708}$.
  
• Der Erwartungswert von ${\textstyle Y}$ ist:
  
  $$E(Y)=15.167$$
  
  Die Varianz von ${\textstyle Y}$ ist:
  
  $${\begin{aligned}V(Y)&=&149.14\end{aligned}}$$
  
  Daraus ergibt sich ${\textstyle \sigma _{Y}=12.212}$.

Beispiel II

• Der Erwartungswert von ${\textstyle Z}$ ist:
  
  $$E(Z)=7$$
  
  Die Varianz von ${\textstyle Z}$ ist:
  
  $${\begin{aligned}V(Z)&=&5.833\end{aligned}}$$
  
  Daraus ergibt sich ${\textstyle \sigma _{Z}=2.415}$.

Beispiel III

Für die ZV ${\textstyle G,G_{2},{\tilde {G_{2}}}}$ gilt:

• ${\textstyle E(G)=2}$, ${\textstyle V(G)=21}$
• ${\textstyle E(G_{2})=4}$, ${\textstyle {\begin{aligned}V(G_{2})=42\end{aligned}}}$
• ${\textstyle E({\tilde {G_{2}}})=4}$, ${\textstyle {\begin{aligned}V({\tilde {G_{2}}})=39.79\end{aligned}}}$

Anmerkung

Der Erwartungswert gibt den " im Durchschnitt zu erwartenden Wert einer ZV " an, die Varianz gibt die " im Durchschnitt zu erwartende quadratische Abweichung vom Erwartungswert " an. Die Standardabweichung ist ein Maß für die "zu erwartende Schwankung (Streuung) ".

Aufgabe

Geben Sie im Folgenden die angegebenen Informationen und die gesuchten Werte als Wahrscheinlichkeiten ${\textstyle P(\ldots )}$ bzw. als bedingte Wahrscheinlichkeiten ${\textstyle P(\ldots |\ldots )}$ an:
Jeder vierte Bewohner eines Ortes besitzt einen Garten. ${\textstyle 60\%}$ der Gartenbesitzer haben ein Haustier, von den Übrigen haben nur ${\textstyle 20\%}$ ein Haustier.

• Wie hoch ist der Anteil der Bewohner, die ein Haustier besitzen?
• Wie hoch ist der Anteil der Gartenbesitzer unter denen, die ein Haustier besitzen? Wie hoch ist der Anteil der Gartenbesitzer unter denen, die kein Haustier besitzen?

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