Kurs:Statistik für Anwender/Zufallsvariablen

Zufallsvariablen

Bearbeiten

Diskrete Zufallsvariable und Bild

Bearbeiten

Gegeben sei ein endlicher W-Raum   (zugehörig zu einem ZE). Eine Funktion  , die jedem möglichen Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet, heißt diskrete Zufallsvariable (ZV).

Die Menge   aller Werte (Realisationen), die die ZV   annehmen kann, nennt man das Bild von  .

Ist   eine ZV, so schreibt man für eine Zahl   auch
 
 
(Man beachte, dass   und folglich   ist, falls   ist.)

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Bearbeiten

Um eine diskrete ZV   zu untersuchen, kann man oft auf eine Beschreibung des W-Raumes   verzichten und nur das Bild   sowie die Wahrscheinlichkeiten   für   angeben. Zusammen nennt man dies die Wahrscheinlichkeitsverteilung (W-Verteilung) von  .
Es gilt stets:  
(Eine Beschreibung des W-Raumes kann aber manchmal helfen, um die Wahrscheinlichkeiten   überhaupt zu bestimmen.)


W-Verteilung und Modelle

Bearbeiten

Wahrschienlichkeitsverteilungen, unabhängig davon, ob sie stetig oder diskret sind, sind immer Modelle, welche die Realität mehr oder weniger gut abbilden.


Beispiele

Bearbeiten

Beispiel I

Bearbeiten

Die ZV   gibt die Augenzahl eines Würfels an. Dann hat man   und  . Also:   und    

Beispiel II

Bearbeiten

Die ZV   gibt die das Quadrat der Augenzahl eines Würfels an. Dann hat man   und  . Also:   und    

Beispiel III

Bearbeiten

Die ZV   beschreibt die Augensumme zweier Würfel. Dann hat man   und  . Also:   und
 

Beispiel IV

Bearbeiten

Bei einem Glücksspiel befinden sich   rote,   schwarze und   weiße Kugeln in einer Lostrommel.

  • Man darf eine Kugel ziehen. Zieht man die Rote gewinnt man   Euro, zieht man eine Schwarze gewinnt man   Euro, zieht man eine Weiße gewinnt man nichts. Die ZV  , die den Gewinn beschreibt, hat als Bild   und es gilt:  

Beispiel V

Bearbeiten
  • Nun darf man zwei Kugeln mit Zurücklegen ziehen. Die ZV   beschreibt den Gesamtgewinn. Man berechnet   und:
     

Beispiel VI

Bearbeiten
  • Nun darf man zwei Kugeln ohne Zurücklegen ziehen. Die ZV   beschreibt den Gesamtgewinn. Man berechnet   und:
     
    (Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten können durch die Aufstellung eines geeigneten W-Raums bestimmt werden, man kann aber auch anders vorgehen, z.B. mittels Erstellung von Baumdiagrammen.)

Erwartungswert und Standardabweichung einer diskreten ZV

Bearbeiten

Sei   ein endlicher oder abzählbarer W-Raum und   eine (diskrete) ZV auf  . Dann heißen:  

Verschiebungssatz

Bearbeiten

Für die Varianz gilt ebenso wie für die empirische Varianz der Verschiebungssatz: Für eine endliche ZV  , die die Werte   annehmen kann, gilt stets:  


Beispiele

Bearbeiten

(vergleiche Beispiele)

Beispiel I

Bearbeiten

Für die ZV   gilt:

  • Der Erwartungswert von   ist:
     
    Die Varianz von   ist:
     
    Daraus ergibt sich  .
  • Der Erwartungswert von   ist:
     
    Die Varianz von   ist:
     
    Daraus ergibt sich  .

Beispiel II

Bearbeiten
  • Der Erwartungswert von   ist:
     
    Die Varianz von   ist:
     
    Daraus ergibt sich  .

Beispiel III

Bearbeiten

Für die ZV   gilt:

  •  ,  
  •  ,  
  •  ,  

Anmerkung

Bearbeiten

Der Erwartungswert gibt den " im Durchschnitt zu erwartenden Wert einer ZV " an, die Varianz gibt die " im Durchschnitt zu erwartende quadratische Abweichung vom Erwartungswert " an. Die Standardabweichung ist ein Maß für die "zu erwartende Schwankung (Streuung) ".

Geben Sie im Folgenden die angegebenen Informationen und die gesuchten Werte als Wahrscheinlichkeiten   bzw. als bedingte Wahrscheinlichkeiten   an:
Jeder vierte Bewohner eines Ortes besitzt einen Garten.   der Gartenbesitzer haben ein Haustier, von den Übrigen haben nur   ein Haustier.

  • Wie hoch ist der Anteil der Bewohner, die ein Haustier besitzen?
  • Wie hoch ist der Anteil der Gartenbesitzer unter denen, die ein Haustier besitzen? Wie hoch ist der Anteil der Gartenbesitzer unter denen, die kein Haustier besitzen?

Seiteninformation

Bearbeiten

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Bearbeiten

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Statistik für Anwender' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.