Kurs:Stochastik/Faltung
Einfürhung
BearbeitenAls Faltung bezeichnet man in der Stochastik eine Operation, die zwei Wahrscheinlichkeitsmaße zu einem neuen Wahrscheinlichkeitsmaß kombiniert. Sie ermöglicht es, bei Werten, die dem Zufall unterliegen, der Summe dieser Werte eine sinnvolle Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. So ist die Verteilung der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen genau die Faltung der Verteilung der einzelnen Zufallsvariablen.
Faltung und Wahrscheinlichkeitsfunktionen
BearbeitenBesitzen die betrachteten Wahrscheinlichkeitsmaße eine Wahrscheinlichkeitsfunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, so kann die Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße auf die Faltung (von Funktionen) der Wahrscheinlichkeitsfunktionen oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zurückgeführt werden.
Wahrscheinlichkeitsmaße auf den ganzen Zahlen
BearbeitenZunächst werden diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße betrachtet, wobei der Träger von Wahrscheinlichkeitsmasse die ganzen Zahlen sind.
Definition
BearbeitenGegeben seien zwei diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße auf den ganzen Zahlen mit Wahrscheinlichkeitsfunktionen und . Die Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße und ist dann dasjenige Wahrscheinlichkeitsmaß auf , das die Wahrscheinlichkeitsfunktion
besitzt.
Faltung von W-Maßen
BearbeitenDie Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Faltung von W-Maßen erhält man also durch die Faltung der Wahrscheinlichkeitsfunktionen und
Dabei ist die oben definierte Faltung der Funktionen und .
Bemerkung 1
BearbeitenSind die Wahrscheinlichkeitsfunktionen nur auf einer Teilmenge der ganzen Zahlen wie zum Beispiel oder definiert, so setzt man sie außerhalb dieser Mengen durch den Wert null fort, also mit . Für den Spezialfall, dass beide Wahrscheinlichkeitsmaße auf den natürlichen Zahlen definiert sind, gilt dann für die Faltung
- .
Bemerkung 2
BearbeitenDes Weiteren ist die Faltung durch die Angabe der Wahrscheinlichkeitsfunktionen eindeutig bestimmt, da ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum durch die Angabe der Wahrscheinlichkeitsfunktion eindeutig bestimmt ist.
Beispiel - Faltung
BearbeitenBetrachtet werden nun zwei Wahrscheinlichkeitsfunktion für W-Maße auf :
Im Folgenden wird die Faltung der Wahrscheinlichkeitsfunktionen berechnet.
Bernoulli-Verteilung
BearbeitenEs sei die Bernoulli-Verteilung zum Parameter , also mit Wahrscheinlichkeitsfunktion
Binomialverteilung
BearbeitenEs sei die Binomialverteilung zu den Parametern 2 und , also mit Wahrscheinlichkeitsfunktion
für .
Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Faltung 1
BearbeitenUm die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Faltung an der Stelle zu bestimmen, erstellt man nun alle Paare , für die gilt und für die sowohl als auch ungleich null sind. Im angegebenen Fall sind dies:
Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Faltung 2
BearbeitenNun bildet man für jedes das Produkt der entsprechenden und summiert dieses auf: Für ist somit
- .
Für die anderen Werte folgt dann
Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Faltung 3
BearbeitenDies ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung zu den Parametern 3 und , somit gilt
- .
Ebenso lässt sich eine geschlossene Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion auch durch die direkte Faltung der Wahrscheinlichkeitsfunktionen herleiten.
Stetige Wahrscheinlichkeitsmaße auf den reellen Zahlen
BearbeitenDefinition
BearbeitenGegeben seien zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf den reellen Zahlen, versehen mit der Borelschen σ-Algebra. und besitzen außerdem Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und .
Dann heißt dasjenige Wahrscheinlichkeitsmaß auf mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
die Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße und und wird mit bezeichnet.
Bemerkung - Lebesgue-Integral - Riemann-Integral
BearbeitenHäufig kann das Lebesgue-Integral durch ein Riemann-Integral ersetzt werden, man schreibt dann anstelle von .
Es gilt dann also
- ,
wobei die Faltung der Funktionen und bezeichnet.
Bemerkung - Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf reellen Zahlen
BearbeitenAuch für Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen, die keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion besitzen (wie zum Beispiel die Cantor-Verteilung), ist die Faltung definiert. Sie ist dann durch den unten angegebenen allgemeinen Fall gegeben.
Bemerkung - Dirac-Verteilung
BearbeitenWichtige Ausnahme hiervon ist die Faltung mit der Dirac-Verteilung : Besitzt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion , so besitzt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion .
Beispiel - Faltung von Exponentialverteilungen
BearbeitenSeien Exponentialverteilungen zum identischen Parameter , also mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Bemerkung zur Definition der Dichtefunktion
BearbeitenDabei ist die Indikatorfunktion auf der Menge .
Faltungsdichte 1 - Erlang-Verteilung bzw. Gamma-Verteilung
BearbeitenDie Faltung liefert als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Erlang-Verteilung beziehungsweise eine Gammaverteilung zu den Parametern 2 und . Somit ergibt die Faltung zweier Exponentialverteilungen eine Erlang- beziehungsweise eine Gammaverteilung.
Faltungsdichte 2 - Erlang-Verteilung bzw. Gamma-Verteilung
BearbeitenDie Faltungsdichte der Erlang-Verteilung ist dann für wie folgt definiert:
Allgemeiner Fall
BearbeitenIm allgemeinen Fall sei eine Menge (Ergebnisraum), auf der mindestens die Addition erklärt ist. Diese Operation ist notwendig, damit die Faltung in den Argumenten der Dichtefunktionen definiert werden kann.
Produkt-σ-Algebra
BearbeitenDabei eine σ-Algebra und die Produkt-σ-Algebra auf . Die Addition wird dabei als folgende Abbildung:
Definition - Faltung als induzierte Verteilung einer Zufallsgröße
BearbeitenDes Weiteren seien zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf gegeben und das entsprechende Produktmaß.
Ist dann die Addition als Abbildung von nach eine - -messbare Funktion (und damit eine Zufallsvariable), so heißt das Bildmaß von unter (bzw. die Verteilung der Zufallsvariable ) die Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße und .[1] Somit ist
Bemerkung - analoge Formulierung der Faltung
BearbeitenAnalog kann man die Faltung wie folgt definieren:
- .
Die obigen Messbarkeitsbedingungen sind beispielsweise immer erfüllt, wenn ein topologischer Vektorraum ist und die borelsche σ-Algebra. Dies ist insbesondere der Fall, wenn und .
Herleitung der obigen Spezialfälle - diskreter Fall
BearbeitenFür Wahrscheinlichkeitsmaße auf genügt es, die Aussage für die Mengen zu zeigen, da diese ein Erzeuger der σ-Algebra (hier der Potenzmenge) bilden. Es ist
- .
Bemerkung 1 zur Herleitung - diskreter Fall
BearbeitenDabei sind die ersten beiden Schritte Umformulierungen der Bildmaße der Verteilungen, der dritte folgt aus der σ-Additivität und der Disjunktheit der , der vierte aus der Definition des Produktmaßes und der letzte schließlich aufgrund der eindeutigen Charakterisierung der Wahrscheinlichkeitsmaße durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktionen.
Bemerkung 2 zur Herleitung - diskreter Fall
BearbeitenSomit ist die in obigem Abschnitt angegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion die Wahrscheinlichkeitsfunktion der gefalteten Wahrscheinlichkeitsmaße , die Definitionen stimmen also überein.
Herleitung der obigen Spezialfälle - stetiger Fall
BearbeitenAnalog folgt für Wahrscheinlichkeitsmaße auf
durch Substitution und den Satz von Fubini.
Eigenschaften
BearbeitenSumme unabhängiger Zufallsvariablen
BearbeitenEine wichtige Eigenschaft der Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist, dass sich mit ihr die Verteilung der Summe von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen bestimmen lässt. Sind und stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungen und , so ist die Verteilung der Summe der Zufallsvariablen die Faltung der Verteilungen der Zufallsvariablen, also
- .
Diese zentrale Eigenschaft folgt direkt aus der Definition der Faltung als Bildmaß der Addition. Dabei folgt die stochastische Unabhängigkeit der Konstruktion aus dem Produktmaß.
Wahrscheinlichkeitserzeugende, Momenterzeugende und Charakteristische Funktionen
BearbeitenFür Wahrscheinlichkeitsmaße auf lässt sich die Faltung mit den wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen in Beziehung setzen. Es gilt dann
- .
Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Faltung zweier Wahrscheinlichkeitsmaße ist also das Produkt der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen der Maße.
Analoges gilt für die momenterzeugende Funktion und die charakteristische Funktion :
- und
Daraus folgen die Additionsidentitäten für unabhängige Zufallsvariablen:
Aufbauende Begriffe
BearbeitenFaltungshalbgruppen
BearbeitenEine Faltungshalbgruppe ist eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die abgeschlossen bezüglich der Faltung ist. Das bedeutet, dass die Faltung zweier Wahrscheinlichkeitsmaße aus der Faltungshalbgruppe wieder in der Faltungshalbgruppe enthalten ist. Faltungshalbgruppen treten beispielsweise bei der Untersuchung von charakteristischen Funktionen oder als Hilfsmittel zur Konstruktion von stochastischen Prozessen mit bestimmten Eigenschaften, wie dem Wiener-Prozess, auf. Beispiele für Faltungshalbgruppen sind die Binomialverteilungen zu einem festen Parameter oder die Cauchy-Verteilung.
Unendliche Teilbarkeit
BearbeitenEin Wahrscheinlichkeitsmaß heißt unendlich teilbar, wenn zu jedem ein weiteres Wahrscheinlichkeitsmaß existiert, für das
gilt. Hierbei bezeichnet
die n-fache Hintereinanderausführung der Faltung. lässt sich also immer als n-te Faltungspotenz eines weiteren Wahrscheinlichkeitsmaßes darstellen. Die äquivalente Formulierung für Verteilungen lautet, dass immer die Verteilung der Summe von unabhängigen, identische verteilten Zufallsvariablen ist.
Faltungsidentitäten
BearbeitenDie folgende Liste enthält wichtige Faltungsidentitäten, erhebt aber keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Weitere Faltungsidenditäten finden sich in den entsprechenden Hauptartikeln zu den Wahrscheinlichkeitsmaßen.
Verteilung | Faltung | Faltungshalbgruppe | Unendlich Teilbar |
---|---|---|---|
Diskrete Verteilungen | |||
Bernoulli-Verteilung | Nein | Nein | |
Binomialverteilung | Ja, auf | Nein | |
Poisson-Verteilung | Ja, auf | Ja, durch | |
Geometrische Verteilung | Nein | Ja, durch | |
Negative Binomialverteilung | Ja, je nach Definition auf oder auf | ja, durch | |
Dirac-Verteilung | Auf | Ja, durch | |
Absolutstetige Verteilungen | |||
Standardnormalverteilung | Nein | Ja, durch | |
Normalverteilung | Auf | Ja, durch | |
Cauchy-Verteilung | Ja | ||
Exponentialverteilung | Nein | ja, durch | |
Erlang-Verteilung | Ja, auf | Ja, durch | |
Gammaverteilung | Ja, auf | Ja, durch | |
Chi-Quadrat-Verteilung | Ja, auf |
Literatur
Bearbeiten- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
- Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Georgii: Stochastik. 2009, S. 75.
Bemerkung
BearbeitenDieser Artikel behandelt Faltung in der Stochastik. Für andere Bedeutungen siehe Faltung (Mathematik) und Faltung.
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