Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment

Einführung Bearbeiten

In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet ein Zufallsexperiment (auch Zufallsvorgang oder Zufallsversuch genannt) einen Versuch, der unter genau festgelegten Versuchsbedingungen durchgeführt wird und einen zufälligen Ausgang hat. Als Versuch versteht man hier einen Vorgang, bei dem mehrere Ergebnisse eintreten können, und bei dem ein nicht vorhersagbares, erfassbares Ergebnis eintritt, zum Beispiel das Werfen einer Münze oder eines Spielwürfels. Davon zu unterscheiden ist das randomisierte Experiment.

Zufall und Gesetzmäßigkeit Bearbeiten

Obwohl das Ergebnis jedes einzelnen Versuchs zufällig ist, lassen sich, sofern eine hinreichend häufige Wiederholung möglich ist, Gesetzmäßigkeiten erkennen, die mathematisch erfasst werden können. Die interessierenden Größen eines Zufallsexperiments nennt man Zufallsvariablen.

Eigenschaften Bearbeiten

Damit ein Experiment ein Zufallsexperiment ist, muss es folgende Eigenschaften aufweisen:

Es gibt einen genau festgelegten Plan zur Durchführung.^[1]
Alle möglichen Ergebnisse des Experiments sind vorab bekannt.
Das Ergebnis jedes einzelnen Experiments kann nicht vorhergesagt werden (Zufälligkeit).

Ein Zufallsexperiment kann einmalig und unwiederholbar sein^[2] oder auch Serien von Durchführungen mit gleichwertigen und von Durchführung zu Durchführung voneinander unabhängigen Versuchen ermöglichen.

Weiter kann ein Zufallsexperiment einstufig oder mehrstufig sein. Im zweiten Fall können die Stufen stochastisch unabhängig oder abhängig sein.

Bei Computerprogrammen werden zur Simulation von zufälligen Ereignissen mit geeigneten Algorithmen scheinbar zufällige Zahlen berechnet, die auch als Pseudozufallszahlen bezeichnet werden.

Einstufiges Zufallsexperiment Bearbeiten

Hier wird das Zufallsexperiment nur einmal durchgeführt.

Beispiele Bearbeiten

Einmaliges Werfen eines Würfels oder einer Münze.
Einmaliges Ziehen einer Karte aus einem gemischten Stapel.
Einmaliges Drehen eines Glücksrades oder eines Kreisels.

Mehrstufiges Zufallsexperiment Bearbeiten

Mehrstufige Zufallsexperimente sind Zufallsexperimente, die aus mehreren Schritten bestehen, die für sich selbst auch Zufallsexperimente sind. Ein einfaches Beispiel ist die mehrmalige Wiederholung eines einzelnen Zufallsexperiments mehrmals. Mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich oft durch Baumdiagramme veranschaulichen.

Beispiele - diskrete Zufallsexperimente Bearbeiten

Zweimaliges Würfeln
Ziehen von mehreren Losen aus einer Lostrommel bzw. mehrerer Kugeln aus einer Urne (mit oder ohne Zurücklegen)
Es wird zuerst gewürfelt und anschließend werden so viele Kugeln aus einer Urne gezogen, wie die Augenzahl des Würfels zeigt.
Münzwurf, Würfelwurf, Zahl beim Roulette

Beispiele - stetige Zufallsexperimente Bearbeiten

Zweimaliger Wurf eine Dartscheibe $\left((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\right)$ , wobei mit $(x_{k},y_{k})\in \mathbb {R} ^{2}$ die Koordinaten des $k$ -ten Einstichstelle in der Dartscheibe sind (Zentrum der Dartscheibe hat die Koordinaten $(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}$
Zufallszahl zwischen $z_{1}\in [-100,100]$ als Gewinn in Euro festlegen und dann eine Zufallszahl für Benzinverbrauch $z_{2}\in [3,50]$ für den Verbrauch einer Fahrzeuges in Litern pro $100\,km$ auswählen.

Bemerkung - mehrstufiges Experiment in einstufiges Experiment Bearbeiten

Es gibt Fälle, in denen ein mehrstufiges Zufallsexperiment bei geeigneter Fragestellung durch ein einstufiges ersetzt werden kann^[3] Beispiel:

(diskret) Es soll solange ein Würfel geworfen werden, bis eine "6" erzielt wird (man wählt die Wurfnummer aus $n\in \mathbb {N}$ , in dem die erste 6 gewürfelt wurde.
(stetig) Es soll solange mit einem Dartpfeil auf eine Dartscheibe geworfen werden, bis der Dartpfeil nicht weiter als $\varepsilon >0$ vom Zentrum entfernt ist.

Bemerkung - stetig zu diskret Bearbeiten

Im letzten stetigen Beispiel geht man bei der Dartscheibe von einen stetigen mehrstufigen Zufallsexperiment mit Koordinaten als Ergebnis zu einem diskrete Zufallsexperiment über, bei dem man nur noch danach fragt, ob der Dartpfeil das Zentrum eine kleinen $\varepsilon$ -Kreischeibe getroffen hat oder nicht.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

↑ Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger, 10. Auflage Springer Spektrum 2013, doi:10.1007/978-3-658-03077-3, S. 1.
↑ Büchter, Henn: Elementare Stochastik, S. 134, Springer Verlag Berlin 2006, ISBN 3-540-22250-2.
↑ Wirths: Das Baumdiagramm, S. 262–267, Pädagogischer Zeitschriftenverlag Berlin, Mathematik in der Schule 1999, Heft 5, ISSN 0465-3750.