Kurs:Stochastik/multivariate hypergeometrische Verteilung

Einführung Bearbeiten

Die multivariate hypergeometrische Verteilung oder allgemeine hypergeometrische Verteilung ist eine multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung und zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie ist eine multivariate Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung und kann aus dem Urnenmodell mit   Teilmengen von Kugeln abgeleitet werden.

Messraum Bearbeiten

Der Messraum   ist mit   wie folgt definiert.

  paarweise disjunkt für   mit  ,  
 

Beispiel Bearbeiten

In einer Urne sind 20 Kugel. Die Kugeln 1-10 sind rote Kugel, die Kugel 11-17 sind gelbe Kugeln und die 18-20 sind blau. Insgesamt sollen   Kugeln an. Wenden Sie die obige Notation für dieses konkrete Beispiel an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von jeder Farbe die gleiche Anzahl von Kugeln gezogen wird.

Zufallsgrößen Bearbeiten

Sei   gegeben und die folgenden Zufallsgrößen geben im Beispiel die Anzahl   der gezogenen Kugeln von der  -ten Farbe an, also der gezogenen Kugeln aus  . Formal lässt die Abbildung wie folgt definieren:

  mit
 

Definition Bearbeiten

Eine Zufallsvariable   mit Werten in   heißt multivariat hypergeometrisch verteilt zu den Parametern   mit   und  , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion

 

besitzt. Man schreibt dann   oder   wie bei der hypergeometrischen Verteilung.

Herleitung aus dem Urnenmodell Bearbeiten

Die multivariate hypergeometrische Verteilung lässt sich anschaulich aus dem Urnenmodell herleiten. Gegeben sei eine Urne mit insgesamt   Kugeln, von denen jede in einer von   unterschiedlichen Farben eingefärbt ist. Von der Farbe   gibt es   Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, beim  -maligen Ziehen ohne Zurücklegen genau   Kugeln der Farbe   zu ziehen, ist multivariat hypergeometrisch verteilt.

Eigenschaften Bearbeiten

Erwartungswert Bearbeiten

Ist   die Anzahl der Kugeln der Farbe  , so ist der Erwartungswert

 

Varianz Bearbeiten

Die Varianz ist

 

Kovarianz Bearbeiten

Für die Kovarianz zwischen der Anzahl der Kugeln gilt

 

wenn  .

Beispiel Bearbeiten

Es ist eine Urne mit 5 schwarzen, 10 weißen und 15 roten Kugeln gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, bei sechsmaligem Ziehen genau zwei Kugeln von jeder Farbe zu ziehen, ist

 

also knapp acht Prozent. Es ist  . Damit folgt zum Beispiel für den Erwartungswert der schwarzen Kugeln  .

Beziehung zu anderen Verteilungen Bearbeiten

Beziehung zur hypergeometrischen Verteilung Bearbeiten

Die hypergeometrische Verteilung ist ein Spezialfall der multivariaten hypergeometrischen Verteilung mit   und  . Man beachte hier die unterschiedlichen Parametrisierungen.

Beziehung zur Multinomialverteilung Bearbeiten

Die multivariate hypergeometrische Verteilung und die Multinomialverteilung sind verwandt, da sie aus demselben Urnenmodell entstehen, mit dem Unterschied, dass im Multinomialmodell zurückgelegt wird. Insbesondere lässt sich zeigen, dass wenn   und   gilt, sodass   ist, und die   eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf   definieren, dann   punktweise gegen die Multinomialverteilung   mit den Parametern   und   konvergiert. Die multivariate hypergeometrische Verteilung kann somit durch die Multinomialverteilung approximiert werden.

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, doi:10.1007/978-3-642-36018-3
  • Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, doi:10.1515/9783110215274

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