Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/topologische Algebra

Definition: Topologischer Vektorraum

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Ein topologischer Vektorraum   über dem Körper   ist ein Vektorraum, der eine Topologie   besitzt, mit der die Multiplikation mit Skalaren und die Addition stetige Abbildungen sind.

 

Im folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.

Definitionen in topologischen Räumen

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Sei   ein topologischer Raum mit einem System von offenen Mengen   und  , dann bezeichnet

  •   die Menge aller Umgebungen vom Punkt  ,
  •   die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt  ,
  •   die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen vom Punkt  .

Bemerkung

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Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index   in dieser Bezeichnung nicht mit angegeben.

Definition: offener Kern

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Sei   ein topologischer Vektorraum und  , dann ist der offene Kern   von   die Vereinigung aller offenen Teilmengen von  .

Definition: abgeschlossene Hülle

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Die abgeschlossene Hülle   von   ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von  , die   enthalten.

Definition: Topologischer Rand

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Der topologische Rand   von   ist wie folgt definiert:  

Definition: Netze

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Sei   ein topologischer Raum und   eine Indexmenge (mit einer partiellen Ordnung) und   eine nicht leere Teilmenge von  , dann bezeichnet   die Menge aller mit   indizierten Familien in   werden als Netze bezeichnet:

 

Definition: Endliche Folgen in Vektorräumen

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Sei   ein Vektorraum, dann bezeichnet   die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in  :

 

Folgenraum als Vektorräume

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Sei   ein Vektorraum über dem Körper   und   die Menge aller endlichen Folgen in  . Mit  ,  ,   und   kann man folgende Verknüfungen definieren:

  •  
  •  
  •  
  • Zeigen Sie, dass   mit den obigen Verknüpfungen einen Algebra ist.
  • Definiere die folgende Abbildung   auf  . Zeigen Sie, dass   eine Norm auf   ist.
  • Zeigen Sie, dass   nicht vollständig ist. Konstruieren Sie dazu eine Cauchy-Folge, die nicht konvergiert!
  • Zeigen Sie, dass die Multiplikation in   eine stetige Abbildung ist, indem Sie nachweisen, dass die Ungleichung   in der topologische Algebra für alle   erfüllt ist.

Definition: Topologische Algebra

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Eine topologische Algebra   über dem Körper   ist ein topologischer Vektorraum über  , in dem eine stetige Multiplikation : .

Bemerkung: Multiplikation - Multiplikation mit Skalaren

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In einer topologischen Algebra muss man die Multiplikation mit Skalaren

 

von der Multiplikation   als innere Verknüpfung unterscheiden.

 

Im weiteren Verlauf werden diese beiden Verknüfungen nicht mehr durch unterschiedlich Multiplikationssymbole unterschieden, da in der Regel klar aus dem Kontext zu erkennen ist, welche Verknüpfung gemeint ist.

Siehe auch

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