Kurs:Vektor-Algebra/Grundbegriffe

Erklärungen der Grundbegriffe

In dem Teilgebiet der Mathematik, das »Lineare Algebra« heißt, haben Vektoren eine etwas andere Bedeutung als in der Physik; wir beschäftigen uns hier jedoch nur mit physikalischen Vektoren und ihrer mathematischen Behandlung. Die mathematische Fassung der Begriffe ist natürlich richtig und die physikalische Auffassung schwammig. Dafür ist die physikalische Auffassung schnell zu begreifen und eigentlich wollen wir uns ja mit Physik beschäftigen. Wir werden deswegen nur so viel mathematisches Reisegepäck mitnehmen, wie wir für das Verständnis der Physik gebrauchen können.

Die Charakterisierungen in einem mathematischen Nachschlagewerk wird ein Anfänger nicht verstehen. Tatsächlich gibt es mehrere Charakterisierungen desselben Begriffes. Wir verwenden für den Anfang naive Charakterisierungen der Grundbegriffe. Zu einem anderen Zeitpunkt werden wir den Begriffsapparat nachschärfen.

Dimension

Physikalische Größen haben Dimensionen Länge, Zeit, Kraft, Arbeit... Die SI-Einheit der physikalischen Größe Länge ist Meter mit dem Symbol m. Eckige Klammer bilden die Dimension auf die Einheit ab. Man schreibt das so: [Länge] = m. Allgemein also [Physikalische Größe]= Einheit.

Skalar

Ein Skalar ist eine Zahl wie 5, -10, i, -i, ${\sqrt {2}}$. Skalare Größenwerte haben Einheiten angehängt 7 m, 7 s, ${\sqrt {2}}V$. Die Arbeit W ist zum Beispiel ein Skalar. Aus der Schule kennt man

W = Kraft x Weg = F $\cdot$ s

Die Formel kann man leider nur anwenden, wenn Kraft und Weg auf einer Linie liegen. Wir lernen später ein besonderes Produkt kennen, das beschäftigt sich mit solchen Fällen: das Skalarprodukt.

Skalare nennt man auch Tensoren 0.Ordnung.

Vektor

Ein Vektor hat einen Angriffspunkt, einen Betrag und eine Richtung. Er kann durch einen Pfeil dargestellt werden, er heißt auch Vektor. Den Begriff Vektor kann man noch viel präziser fassen. Für den Anfang ist das nicht notwendig. Eine vektorielle physikalische Größe ist z.B. die Kraft mit der SI-Einheit N. Bei vektoriellen physikalischen Größen sagen wir nicht Vektorbetrag, sondern besser Größenwert. Die Kraftvektor ${\vec {F}}$ hat z.B. den Betrag 10 und den Größenwert 10 Newton.

Für ein tieferes Verständnis von Vektoren ist es unerlässlich,charakterisieren wir ein genauer

• ein Geometrisches Objekt,
• das einem Vektorraum angehört,
• das durch Koordinaten bezüglich einer Basis dargestellt werden kann,
• das aber nicht von einer bestimmten Basis abhängt, sondern unter Basiswechsel (= Koordinatentransformation) invariant bleibt.

Tensoren

Vektoren nennt man auch Tensoren 1.Ordnung. Zwischen Tensoren verschiedner Stufen kann man Gleichungen aufstellen, wenn man Proportionalitäten einbaut. Ansonsten sind Tensoren verschiedener Stufen nicht vergleichbar. Gleichungen zwischen Tensoren gleicher Stufe können proportional sein. Die Proportionalität ist ein Tensor niedrigerer Stufe.

Beispiel: Dynamische Grundgleichung

F Kraftvektor, Tensor 1.Stufe a Beschleunigungsvektor, Tensor 1.Stufe m Masse, skalar , Tensor 0.Stufe

F= m*a

Die Kraft F ist der Beschleunigung a proportional aber nicht gleich. Beide sind Tensoren derselben Stufe. Die Gleichheit kann hergestellt werden wenn man die Beschleunigung a mit einem Tensor 0.Stufe und zwar der skalaren Masse multipliziert. Die skalare Masse ist hier die Proportionalität.

Physikalische Gesetze als Proportionalitäten

Exkurs:

Tensoren verallgemeinern Begriffe für Skalar, Vektor und Matrix

Klassifizierung physikalischer Vektoren

Freie Vektoren

Freie Vektoren können parallel zu sich selbst im Raum verschoben werden.

Linienflüchtige Vektoren

Linienflüchtige Vektoren (zum Beispiel Kräfte) sind an ihre Wirkungslinie gebunden und nur längs dieser verschiebbar.

Ortsgebundene Vektoren

Ortsgebundene Vektoren können überhaupt nicht verschoben werden. Dazu gehören die Feldvektoren, die einem bestimmten Punkt zugeordnet sind, und die Ortsvektoren, die immer im Ursprung des Basissystems beginnen.

Klassifizierung der Vektoren nach Transformationsverhalten

Vektoren kann man auch durch ihr Verhalten gegen Rauminversion klassifizieren. Eine Rauminversion ist die Spiegelung aller Raumpunkte an einem bestimmten, vorgegebenen Punkt (z.B. Koordinatenursprung).

Polare Vektoren werden negativ bei Inversion. Axiale Vektoren erhalten sich.

Frage: Wie teilst Du diese vektoriellen Größen ein ?

Kraft, Drehmoment, Geschwindigkeit, Beschleunigung

Frage: Was ist ein Pseudoskalar ?

Ein Nullvektor an einen Vektor angeheftet verändert ihn nicht. Frage: Wie klassifiziert man einen Nullvektor ?

Das Transformationsverhalten von Vektoren beim Basiswechsel wird durch Matrizen vermittelt. Dabei wird eine Matrix von links an den Vektor ranmultipliziert.

Exkurs:

Transformationsverhalten bei Tensoren

Nullvektor

Ein Vektor und sein entgegengesetzter Vektor angeheftet erzeugt den Nullvektor.

Fragen:

• Gibt es Mengen von Vektoren, die man so einander heften kann, dass sie denn Nullvektor ergeben ?
• Kann man einen Vektor und einen entgegengesetzten Vektor zu einem Nullvektor aneinanderheften, wenn sie auf verschiedenen Ebenen liegen.
• Kann man eine Gruppe von Vektoren durch Strecken und Stauchen einzelner Vektoren immer zu einem Nullvektor zusammensetzen ?
• Was geschieht wenn man den Nullvektor streckt oder staucht ?

Lineare Unabhängigkeit

Wir haben eine Menge von Vektoren gegeben auf einer Ebene. Jeder Vektor wird eindeutig mit einem Index i gekennzeichnet. Jeder der Vektoren läßt sich mit einem Streckfaktor $a_{i}$ strecken oder stauchen, je nachdem ob es ein echter Bruch oder ein unechter Bruch ist.

Wenn es unmöglich ist die Vektoren durch aneinanderheften zum Nullvektor zu machen trotz Strecken und Stauchen der Vektoren, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Natürlich ist es verboten, dass alle Streckfaktoren $a_{i}$ gleichzeitig verschwinden.

Koordinatensysteme

Das bekannteste Koordinatensystem sollte das kartesische sein. Hier stehen die Hauptachsen senkrecht zueinander. Daneben gibt es schiefwinklige Koordinatensysteme. Besonders interessant sind die Koordinatensysteme mit den senkrechten Achsen, ihre Basis heißt Orthonormal-Basis (ONB). Mit der Vektoraddition können wir erst anfangen zu rechnen, wenn wir die Komponenten eines Vektors erklärt haben. In der Schule hat bestimmt jeder schon einmal das kartesische Koordinatensystem kennengelernt. Das sind einfach zwei Achsen senkrecht zueinander. Der Schnittpunkt heißt Koordinatenursprung. Wenn man einen Vektor einzeichnet, dann findet man die kartesischen Komponenten des Vektors durch das Lot auf die Abzisse und die Ordinatenachse. Die Abzisse und die Ordinatenachse sind selber Vielfache von Vektoren und zwar ganz besondere mit den Namen Einheits- und Basisvektoren. Außer den kartesischen Basisvektoren gibt es noch andere Sorten.

Kartesisches Koordinatensystem Koordinaten Polarkoordinaten Schiefwinklige Koordinaten

Übung:

Stelle den Punkt (1,1) im Kartesischen Koordinatensystem in Polarkoordinaten dar.

Einheitsvektoren

Wir können eine Schar von Vektoren auswählen. Jeder Vektor aus einer Menge soll sich durch aneinanderheften aus dieser Schar entstehen können. Diese Vektoren aus der Schar nennen wir Einheitsvektoren. Einheitsvektoren haben den Betrag 1. Orthogonale Einheitsvektoren stehen aufeinander senkrecht.

Übung: Was sind die Einheitsvektoren bei den Polarkoordinaten ?

Basis

Die Einheitsvektoren bilden eine Menge genannt Basis.

Komponentendarstellung, Koordinaten

Die Projektion eines Vektors auf einen Einheitsvektor bedeutet das Lot vom Anfangs- und Endpunkt auf den Einheitsvektor finden. Es schneidet einen Abschnitt auf dem Einheitsvektor aus. Wenn der Einheitsvektor einen Maßstab hat, kann man die Endpunkte des Abschnittes mit Skalaren bezeichnen. Ein Anfangs- und ein Endpunkt ergibt in der Ebene zwei Skalare oder ein Paar. Im Raum wäre es ein 3-Tupel mit 3 Skalaren. Die Skalare aus der Projektion des Anfangs- und Endpunktes tragen wir in ( , ,...) ein mit dem Komma als Trennzeichen.

Prototyp: Kartesisches Koordinatensystem

2D: Ebene

(0,0) , (-1,5),...

3D: Raum

(0,0,0) , (-1,4, 5),...

Die Skalare nennen wir Komponenten oder Koordinaten

Satz: (Invarianz gegenüber Basiswechsel)

Ein Vektor ist unabhängig von seiner Darstellung durch die Basis.

Koordinatensysteme auf einer gekrümmten Kurve

Allgemeine Koordinaten Koordinatenlinien Koordinatenraster Geradlinige- & Krummlinige Koordinatenlinien

In jedem Punkt einer gekrümmten Kurve kann man eine ONB konstruieren. Auf diese ONB kann man dann Ortsvektoren in dem Punkt beziehen und in Komponenten zerlegen. Natürlich ändert sich die ONB dann von Punkt zu Punkt und bewegt sich mit der Kurve mit. Das soll hier nur erwähnt werden.

   

Vektor-Algebra

   

Basis