Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 1

Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$	${}q$	${}?$
w	w	w
w	f	f
f	w	w
f	f	w

Aufgabe *

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$	${}q$	${}?$
w	w	w
w	f	f
f	w	f
f	f	w

Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$	${}q$	${}?$
w	w	f
w	f	f
f	w	f
f	f	f

Aufgabe

Beweise mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.

${}(\alpha \wedge \alpha )\leftrightarrow \alpha$ .
${}\alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$ .
${}\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha )$ .
${}(\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma ))\rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\alpha \rightarrow \gamma ))$ .
${}(\alpha \rightarrow \beta )\leftrightarrow (\neg \alpha \vee \beta )$ .

Aufgabe

Man bringe die in der Vorlesung besprochenen Aussageformen in zwei Aussagenvariablen in disjunktive Normalform.

Aufgabe

Man gebe möglichst viele Beispiele für aussagenlogische Kontradiktionen an.

Aufgabe

Zeige, dass in einer aussagenlogischen Tautologie (und ebenso in einer aussagenlogischen Kontradiktion) mindestens eine Aussagenvariable mehrfach vorkommen muss.

Tipp: Ein Beweis für diese Aussage erfordert, dass man eine Induktion über den Aufbau der logischen Sprache durchführt, d.h., man überlegt sich, wie die Aussagen der Sprache aus kleineren Teilaussagen zusammensetzt werden können, und beweist die Aussage für zunehmend komplexere Aussagen.

Aufgabe

Man formalisiere die folgenden Aussagen, indem man geeignete Prädikate erklärt. Man gebe die Negation der Aussagen (umgangssprachlich und formal) an.

Alle Vögel sind schon da.
Alle Wege führen nach Rom.
Faulheit ist aller Laster Anfang.
Alle Menschen werden Brüder, wo dein sanfter Flügel weilt.
Wem der große Wurf gelungen, eines Freundes Freund zu sein, wer ein holdes Weib errungen, mische seinen Jubel ein!^[1]
Freude trinken alle Wesen an den Brüsten der Natur.
Alle Macht geht vom Volk aus.
Alle Achtung.
Alle Neune.

Aufgabe

Schreibe die folgenden Aussagen mit Quantoren:

Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl.
Für jede natürliche Zahl gibt es eine kleinere natürliche Zahl.
Es gibt eine natürliche Zahl, die größer oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist.
Es gibt eine natürliche Zahl, die kleiner oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist.

Welche sind wahr, welche falsch?

Aufgabe

Formuliere die folgenden Beziehungen (ein- oder mehrstellige Prädikate) innerhalb der natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren.

${}x\geq y$ .
${}x>y$ .
${}x$ teilt ${}y$ .
${}x$ teilt nicht ${}y$ .
${}x$ ist eine Quadratzahl.
${}x$ ist eine Primzahl.
${}x$ ist keine Primzahl.
${}x$ ist das Produkt von genau zwei verschiedenen Primzahlen.
${}x$ wird von einer Primzahl geteilt.

In der folgenden Aufgabe geht es nicht um die Wahrheit der Aussagen, sondern nur um die quantorenlogische Formulierung. Man darf und soll sich natürlich trotzdem Gedanken über die Gültigkeit machen.

Aufgabe

Formuliere die folgenden Aussagen über die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren.

${}5\geq 3$ .
${}5>3$ .
${}5\leq 3$ .
${}7$ ist eine Primzahl.
${}8$ ist eine Primzahl.
${}8$ ist keine Primzahl.
Jede natürliche Zahl besitzt mindestens einen Primfaktor.
Jede natürliche Zahl größer gleich ${}2$ besitzt mindestens einen Primfaktor.
Wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, so teilt sie auch mindestens einen der Faktoren.
Es gibt Zahlen, die ein Produkt teilen, obwohl sie keinen der Faktoren teilen.

Fußnoten

↑ Dieser Satz ist im Konjunktiv formuliert, was eher auf eine Aufforderung hindeutet als auf eine Aussage. Man kann hier „soll mischen“ als Prädikat nehmen und damit arbeiten.

[1] Dieser Satz ist im Konjunktiv formuliert, was eher auf eine Aufforderung hindeutet als auf eine Aussage. Man kann hier „soll mischen“ als Prädikat nehmen und damit arbeiten.

[1]