Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{W12}
\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ \in }{ \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
\aufzaehlungdrei{Die lineare Abbildung $\varphi$ ist ein Isomorphismus.
}{$0$ ist kein Eigenwert von $\varphi$.
}{Der konstante Term des charakteristischen Polynoms $\chi_\varphi$ ist
\mathl{\neq 0}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Matrix
\mathl{A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}_{ 2 \times 2 } ( {\mathbb K} )}{.} Untersuche ob $A$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist in Abhängigkeit von ${\mathbb K}$ (d.h., ${\mathbb K} = \R$ oder ${\mathbb K}={\mathbb C}$). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix $C$ und eine Diagonalmatrix $D$ mit
\mathl{D=C^{-1}AC}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche, welche der folgenden Abbildungen
\maabb {\varphi} { \R^2 \times \R^2 } { \R
} {}
bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ \defeq }{ x_1y_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ \defeq }{ x_1x_2+y_1y_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ \defeq }{ 2x_1y_2 + 3x_2y_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte im $\R^2$ die
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\varphi(x,y):=x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass $\R^2$ bezüglich $\varphi$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
ist.
} {Berechne die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {(4,-2)} \Vert}{} bezüglich $\varphi$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(V, \left\langle - , - \right\rangle)}{} ein euklidischer Vektorraum. Zeige die folgenden Aussagen:
\aufzaehlungzwei {
\mathl{\Vert {x} \Vert= \Vert {y} \Vert}{} genau dann, wenn
\mathl{\left\langle x+y , x-y \right\rangle =0}{.}
} {
\mathl{\Vert {x+y} \Vert^2= \Vert {x} \Vert^2 + \Vert {y} \Vert^2}{} genau dann, wenn
\mathl{\left\langle x , y \right\rangle=0}{.}
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}
\inputaufgabe
{4}
{
Untersuche, welche der folgenden Abbildungen
\maabb {\varphi} { \R^2 \times \R^2 } { \R
} {}
\definitionsverweis {bilinear}{}{}
sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften
\definitionsverweis {alternierend}{}{}
und
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{.}
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ \defeq }{ x_1-y_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ \defeq }{ x_1y_1-x_2y_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ \defeq }{ 2x_1y_2-2x_2y_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } (\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $V$ versehen mit der Abbildung
\maabbeledisp {\left\langle - , - \right\rangle} {V \times V} {\R
} {(A,B)} { \operatorname{Spur} { \left( B^tA \right) }
} {}
ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}