Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 12

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}\varphi \in \operatorname {End} (V)$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Die lineare Abbildung ${}\varphi$ ist ein Isomorphismus.
2. ${}0$ ist kein Eigenwert von ${}\varphi$.
3. Der konstante Term des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist ${}\neq 0$.

Aufgabe

Betrachte die Matrix ${}A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{2\times 2}({\mathbb {K} })$. Untersuche ob ${}A$ diagonalisierbar ist in Abhängigkeit von ${}{\mathbb {K} }$ (d.h., ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix ${}C$ und eine Diagonalmatrix ${}D$ mit ${}D=C^{-1}AC$ an.

Aufgabe

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

1. ${}\varphi (x,y):=x_{1}y_{1}$.
2. ${}\varphi (x,y):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$.
3. ${}\varphi (x,y):=2x_{1}y_{2}+3x_{2}y_{1}$.

Aufgabe

Betrachte im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Bilinearform ${}\varphi (x,y):=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}$.

1. Zeige, dass ${}\mathbb {R} ^{2}$ bezüglich ${}\varphi$ ein euklidischer Vektorraum ist.
2. Berechne die Norm ${}\Vert {(4,-2)}\Vert$ bezüglich ${}\varphi$.

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum. Zeige die folgenden Aussagen:

1. ${}\Vert {x}\Vert =\Vert {y}\Vert$ genau dann, wenn ${}\left\langle x+y,x-y\right\rangle =0$.
2. ${}\Vert {x+y}\Vert ^{2}=\Vert {x}\Vert ^{2}+\Vert {y}\Vert ^{2}$ genau dann, wenn ${}\left\langle x,y\right\rangle =0$.

Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

1. ${}\varphi (x,y):=x_{1}-y_{1}$.
2. ${}\varphi (x,y):=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}$.
3. ${}\varphi (x,y):=2x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V=\operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$. Zeige, dass ${}V$ versehen mit der Abbildung

$\left\langle -,-\right\rangle \colon V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(A,B)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(B^{t}A\right)}$

ein euklidischer Vektorraum ist.

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