Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 3/kontrolle

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass für jede reelle Zahl ${}x>0$ die Ungleichung ${}x+{\frac {1}{x}}\geq 2$ erfüllt ist. Wann gilt Gleichheit?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum, sofern diese existieren, der folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:

${}\left\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}~:~n\in \mathbb {N} _{+}\right\}$ ,
${}\left\{{\frac {x}{1+x}}~:~x\in \mathbb {R} ,~x>-1\right\}$ ,
${}\left\{{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}~:~n,m\in \mathbb {N} _{+}\right\}$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}A$ und ${}B$ beschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$ . Ferner sei ${}A+B:={\left\{a+b\mid a\in A,\,b\in B\right\}}$ und ${}A-B:={\left\{a-b\mid a\in A,\,b\in B\right\}}$ .

Zeige, dass ${}\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$ .
Wie lautet die entsprechende Formel für ${}\sup(A-B)$ ?
Zeige, dass ${}\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$ .
Was lässt sich über ${}\sup(A\cap B)$ sagen?
Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X\subset \mathbb {R}$ eine echte Teilmenge mit den folgenden Eigenschaften:

${}X\neq \emptyset$ ,
aus ${}x\in X$ und ${}y<x$ folgt ${}y\in X$ ,
aus ${}x\in X$ folgt, dass es ein ${}z\in X$ gibt mit ${}x<z$ .

Zeige, dass es ein ${}a\in \mathbb {R}$ gibt mit

X={]{-\infty },a[}=\{x\in \mathbb {R} :x<a\}.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die durch ${}x_{0}:=1,x_{n+1}:=x_{n}+{\frac {1}{x_{n}}}$ rekursiv definierte Folge ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ . Ist ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt? Konvergiert die Folge?