Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{W4}
\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche diese Folgen auf Konvergenz und bestimme (falls möglich) den Grenzwert:
\aufzaehlungfuenf{
\mathl{a_n = \frac{3n^2-7n+1}{2n^2+n-1}}{,}
}{
\mathl{b_n= \frac{n-1}{n+1} + (-1)^n \cdot \frac{n+2}{n^2+1}}{,}
}{
\mathl{c_n= \frac{n-1}{n+1} + (-1)^n \cdot \frac{n+2}{n+1}}{,}
}{
\mathl{d_n=(1-\frac{1}{n^2})^n}{,}
}{
\mathl{e_n=\frac{n!}{n^n}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die durch $x_0:=1, x_{n+1}:=x_n+\frac{1}{x_n}$ rekursiv definierte Folge $(x_n)_{n \in \N}$.
Ist $(x_n)_{n \in \N}$ beschränkt? Konvergiert die Folge?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die durch
\mathdisp {x_1:=1, \, x_{n+1}:=\frac{2+x_n}{1+x_n},} { }
rekursiv definierte Folge konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Häufungspunkte der Folge
\mathl{(a_n)_{n \in \N}}{}, welche durch
\mathdisp {a_n = (-1)^n \left(1- \frac{1}{n} \right) - \frac{1}{n}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche diese Folgen auf Konvergenz und bestimme (falls möglich) den Grenzwert: \aufzaehlungzwei {$a_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}$, } {$b_n=\frac{1}{n} \cdot \left(1+\frac{1}{n} \right)^n$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Folge
\mathl{(a_n)_{n \in \N}}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ n+1 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 2n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert.
}
{} {}