Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{W8}
\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{U \subseteq \R}{} eine Umgebung der $0$ und
\maabb {f} {U } { \R
} {}
eine Funktion mit der Eigenschaft, dass
\mathl{\betrag { f(x) } \, \leq \, \betrag { x }^a}{} mit einem
\mathl{a > 1}{} gilt. Zeige, dass $f$ in
\mathl{x_0=0}{} differenzierbar ist und berechne den Wert der Ableitung an dieser Stelle.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
gegeben durch
\mathdisp {f(x):= \begin{cases} 0 \text{, falls } x =0 \\
x^2 \cos \frac{1} {x} \text{, falls } x \neq 0 \end{cases}} { }
auf ganz $\R$ differenzierbar ist und berechne die Ableitung. Ist diese stetig?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die Funktion \maabbele {g} {]0, \infty[} { \R } {x} {x^x } {,} auf Differenzierbarkeit und bestimme (falls möglich) die Ableitung und die lokalen Extrema von $g$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x+e^x } {,} bijektiv ist und berechne $(f^{-1})^\prime (1)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Grenzwert $\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, \frac{ \ln x }{x-1}$.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die Funktion $f:\R \rightarrow \R, x \mapsto x \cdot \betrag { x }$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Bestimme (falls möglich) die Ableitung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die lokalen Extrema der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {(x^3-4x^2+8x-8) \cdot e^x } {.}
}
{} {}