Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 12/latex




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl $q$ modulo unendlich vieler Primzahlen $p$ ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei ${\varphi (n)}$ die \definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.} Zeige, dass die Folge
\mathbed {{ \frac{ {\varphi (n)} }{ n } }} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} sowohl in \mathkor {} {1} {als auch in} {0} {} einen Häufungspunkt besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Beweise Korollar 12.5, also die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x} }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, mit Hilfe von Korollar 11.6 über die Riemannsche $\zeta$-Funktion.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme anhand des Beweises der Ungleichungen von Tschebyschow einen expliziten Wert für $c$ mit
\mathl{\pi(x) \geq c \frac{x}{\ln (x)}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für $x$ hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen $x$ und $x^2$ als zwischen $1$ und $x$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{1}
{

Was besagt die Artinsche Vermutung über primitive Reste?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Betrachte die Quadratrestgruppe
\mathdisp {\mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}} { , }
wobei
\mathl{\mathbb Q^{\times 2}}{} die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse
\mathl{x \in \mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}}{} einen Repräsentanten aus $\Z$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Finde die kleinste Primzahl $p$ derart, dass es in
\mathl{\Z/(p)}{} ein Element $a$ gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich
\mathl{-1}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol


\mathdisp {\left(\frac{1489}{2437}\right)} { . }

}
{} {}