Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 12/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl $q$ modulo unendlich vieler Primzahlen $p$ ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei ${\varphi (n)}$ die
\definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathbed {{ \frac{ {\varphi (n)} }{ n } }} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
sowohl in
\mathkor {} {1} {als auch in} {0} {}
einen Häufungspunkt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Beweise
Korollar 12.5,
also die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x}
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, mit Hilfe von
Korollar 11.6
über die Riemannsche $\zeta$-Funktion.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme anhand des Beweises
der Ungleichungen von Tschebyschow
einen expliziten Wert für $c$ mit
\mathl{\pi(x) \geq c \frac{x}{\ln (x)}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für $x$ hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen $x$ und $x^2$ als zwischen $1$ und $x$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Was besagt die Artinsche Vermutung über primitive Reste?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Betrachte die Quadratrestgruppe
\mathdisp {\mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}} { , }
wobei
\mathl{\mathbb Q^{\times 2}}{} die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse
\mathl{x \in \mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}}{} einen Repräsentanten aus $\Z$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde die kleinste Primzahl $p$ derart, dass es in
\mathl{\Z/(p)}{} ein Element $a$ gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich
\mathl{-1}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left(\frac{1489}{2437}\right)} { . }
}
{} {}