Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 14/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Sophie-Germain-Primzahl}{}{.}
Zeige, dass $2$ eine Primitivwurzel modulo
\mathl{q=2p+1}{} ist genau dann, wenn
\mathl{p=1 \mod 4}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Sophie-Germain-Primzahl}{}{}
und
\mathl{q=2p+1}{.} Es sei $a$ gegeben mit
\mathl{2 \leq a \leq q-2}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {primitive Einheit}{}{}
modulo $q$ ist, wenn es kein
\definitionsverweis {Quadratrest}{}{}
modulo $q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Sophie-Germain-Primzahl}{}{,}
\mathl{q=2p+1}{.} Zeige, dass $q$ ein Teiler von
\mathl{M_p+2=2^p+1}{} genau dann ist, wenn
\mathl{q=\pm 3 \mod 8}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige: Für eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_p$ \definitionsverweis {quasiprim}{}{} zur Basis $2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $n$ eine \definitionsverweis {Carmichael-Zahl}{}{.} Zeige, dass $n$ ungerade und mindestens drei Primfaktoren besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass
\mathl{1105}{} und
\mathl{1729}{}
\definitionsverweis {Carmichael-Zahlen}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $p$ eine Primzahl $>3$ mit der Eigenschaft, dass auch
\mathl{2p-1}{} und
\mathl{3p-2}{} prim sind. Zeige, dass dann
\mathdisp {n=p(2p-1)(3p-2)} { }
eine
\definitionsverweis {Carmichael-Zahl}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pentagon_construct.gif} }
\end{center}
\bildtext {Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal} }
\bildlizenz { Pentagon construct.gif } {TokyoJunkie} {Mosmas} {en.wikiversity.org} {PD} {}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen $n$ zwischen
\mathl{100}{} und
\mathl{200}{} mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $n$ eine gerade
\definitionsverweis {vollkommene Zahl}{}{.}
Berechne die
\definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{}
\mathl{{\varphi (n)}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $n$ eine gerade
\definitionsverweis {vollkommene Zahl}{}{,}
\mathl{n \neq 6}{.} Zeige, dass $n$ die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Kubikzahlen ist.
}
{} {}