Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 2/latex




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige mit Hilfe der Division mit Rest, dass jede \zusatzklammer {additive} {} {} Untergruppe von $\Z$ die Form $\Z a$ besitzt, also aus allen Vielfachen einer gewissen Zahl besteht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung $78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung
\mathl{126}{} cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen
\mathl{-123, 55}{} und $-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position $17$ bzw.
\mathl{109}{.} Welche Flöhe können sich treffen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Beweise folgende Aussagen für einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. \aufzaehlungdrei{Das Element $a$ ist ein Teiler von $b$ \zusatzklammer {also
\mathl{a {{|}} b}{}} {} {} genau dann, wenn
\mathl{(b) \subseteq (a)}{.} }{$a$ ist eine Einheit genau dann, wenn
\mathl{(a)=R=(1)}{.} }{Ist $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} so gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a) }
{ = }{ (b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn $a$ und $b$ \definitionsverweis {assoziiert}{}{} sind.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass im Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{-2}] }
{ = }{ \Z \oplus \Z \sqrt{2} { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Norm}{}{} eine \definitionsverweis {euklidische Funktion}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{} mit euklidischer Funktion $\delta$. Zeige, dass ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(f) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:

(1) Es gibt ein \definitionsverweis {Primelement}{}{}
\mathl{p \in R}{} mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element
\mathl{f \in R}{,}
\mathl{f\neq 0}{,} eindeutig als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{up^{i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} darstellen lässt mit einer Einheit $u$ und
\mathl{i \in \N}{.}

(2) $R$ ist ein \definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{} mit einer surjektiven euklidischen Funktion
\mathl{\delta: R \setminus \{0 \} \rightarrow \N}{,} die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.

a) Es gilt
\mathl{\delta(fg) = \delta(f) + \delta(g)}{} für alle
\mathl{f,g \in R \setminus \{0 \}}{.}


b) Es gilt
\mathl{f {{|}} g}{} genau dann, wenn
\mathl{\delta(f) \leq \delta(g)}{} für alle
\mathl{f,g \in R \setminus \{0 \}}{.} Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1983$ und $1528$.

}
{} {}