Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 22/latex
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Man definiert die
\definitionswortenp{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {R_S} { }
schrittweise wie folgt. Es sei zunächst $M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in $S$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {{ \left\{ \frac{r}{s} \mid r \in R , \, s \in S \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch
\mathdisp {\frac{r}{s} \sim \frac{r'}{s'} \text{ genau dann, wenn es ein } t \in S \text{ mit } trs' =tr's \text{ gibt}} { , }
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit $R_S$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf $R_S$ eine Ringstruktur und definiere einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mathl{R \rightarrow R_S}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien $R$ und $A$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mathl{S \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {A
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
derart, dass $\varphi(s)$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $A$ ist für alle
\mathl{s \in S}{.} Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {R_S} {A
} {,}
der $\varphi$ fortsetzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$ ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{f \in R}{} ein Element und $R_f$ die zugehörige
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist, wenn $R_f$ der Nullring ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{D}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $A_D$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
an $2$ ein
\definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { R_2 } { (A_D)_2
} {}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien $n$ und $k$ teilerfremde Zahlen und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq} {R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein kommutativer Ring. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(n)
}
{ \cong} { (R_k)/(n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_S$ normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
sei
\mathl{f \in R}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{} genau dann ist, wenn für alle
\definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}
$R_{ {\mathfrak p} }$ gilt, dass
\mathl{f \in {\mathfrak a} R_{ {\mathfrak p} }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $D$ eine quadratfreie Zahl, sei
\mathl{R=\Z[\sqrt{D}]}{} und sei $A_D$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass für jede ungerade Primzahl $p$ ein Isomorphismus
\mathdisp {\Z[\sqrt{D}]/(p) \longrightarrow (A_D)/(p)} { }
vorliegt. Zeige durch ein Beispiel, dass dies bei
\mathl{p=2}{} nicht sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein Integritätsbereich und
\mathl{S \subseteq R}{} ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in $R_S$ genau denjenigen Primidealen in $R$ entsprechen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass $R$ genau dann ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
ist, wenn
\mathl{a+b}{} nur dann eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist, wenn $a$ oder $b$ eine Einheit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N
} {f} {\operatorname{ord} \, (f)
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg)
}
{ = }{ \operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g)
}
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, (f) ,\, \operatorname{ord} \, (g) \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}