Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 23/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \bigcap_{i \in I} R_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R_i
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
alle
\definitionsverweis {diskrete Bewertungsringe}{}{}
seien. Zeige: $R$ ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ 1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde in
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{} ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ derart, dass die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
an ${\mathfrak p}$ kein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zur Gaußschen Zahl
\mathl{5+7 { \mathrm i}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}]
}
{ = }{ \Z \oplus \Z \sqrt{-5}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{-5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte in $R$ die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 3
}
{ =} { (1+\sqrt{-5} )(1-\sqrt{-5})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die beteiligten Elemente
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die
\definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{}
zu diesen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mathl{f,g \in R}{,}
\mathl{f,g \neq 0}{.} Zeige ohne Verwendung
des Bijektionssatzes,
dass die
\definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{}
$\operatorname{div} { \left( f \right) }$ und
\mathl{\operatorname{div} { \left( g \right) }}{} genau dann gleich sind, wenn $f$ und $g$
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:
Das Element $f$ ist genau dann
\definitionsverweis {prim}{}{,}
wenn der zugehörige
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} die Gestalt $1 {\mathfrak p}$ mit einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak p}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
Das Element $f$ ist genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
wenn
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren $\neq 0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als ein Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { u p_1^{\nu_1} \cdots p_r^{\nu_r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {Primelementen}{}{}
$p_i$ und einer
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
$u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) }
}
{ =} { \nu_1 (p_1) + \cdots + \nu_r (p_r)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wobei die $(p_i)$ die von $p_i$ erzeugten
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
bezeichnen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7}
{
Es sei
\mathl{n \geq 2}{} eine
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungsieben{$n$ ist die
\definitionsverweis {Potenz}{}{} einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist
\definitionsverweis {lokal}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Reduktion}{}{} von
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
}{Jeder Nullteiler von
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} besitzt genau ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} besitzt genau ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.}
}
}
{} {}