Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 24/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (q)
}
{ \in} { \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei soll die Definition mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus
\maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z
} {}
definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung, die einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( q \right) }}{} zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( q_1 q_2 \right) }
}
{ = }{ \operatorname{div} { \left( q_1 \right) } + \operatorname{div} { \left( q_2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( q_1+ q_2 \right) }
}
{ \geq }{ \min \{ \operatorname{div} { \left( q_1 \right) } , \operatorname{div} { \left( q_2 \right) } \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \operatorname{Div} { \left( R \right) }
} {}
definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.}
Definiere zu einem
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
$D$ den \anfuehrung{konjugierten Divisor}{} $\overline{D}$. Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mathl{q \neq 0}{,} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ \operatorname{div} { \left( q \right) } }
}
{ =} { \operatorname{div} { \left( \overline {q} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{R =A_{-13}=\Z[\sqrt{-13}]}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=-13}{.} Berechne zu
\mathdisp {q= \frac{2}{3} - \frac{5}{7} \sqrt{-13}} { }
den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
und stelle ihn als Differenz zweier
\definitionsverweis {effektiver Divisoren}{}{}
dar.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich
\mathdisp {\frac{11}{77}, \;\frac{25}{49},\; \frac{82}{15}} { . }
Berechne das zugehörige
\definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{,}
das seinem Lebensraum entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich
\mathdisp {\frac{3}{4}-\frac{2}{5} { \mathrm i}, \, 2 +\frac{2}{3} { \mathrm i},\, \frac{1}{7}+ 7 { \mathrm i}} { . }
Man gebe eine einfache Beschreibung des
\definitionsverweis {gebrochenen Ideals}{}{,}
das ihrem Lebensraum entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige direkt, dass die \definitionsverweis {gebrochenen Ideale}{}{} $\neq 0$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{(f_1 , \ldots , f_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{f_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$ und sei vorausgesetzt, dass das inverse
\definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{}
${\mathfrak a}^{-1}$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^{-1}
}
{ =} { ( f_1^{-1} , \ldots , f_n^{-1} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{S \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Definiere die \anfuehrung{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {M_S} { }
und zeige, dass sie ein $R_S$-Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise Lemma 24.10.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 24.11 aus.
}
{} {}