Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 6/latex




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme alle primitiven Elemente von
\mathl{{\mathbb Z}/(27)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Man gebe für die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{({\mathbb Z}/(16))^\times}{} explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass
\mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} \definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich
\mathl{\varphi(\varphi(n))}{} ist, wobei $\varphi$ die \definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{} bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn
\mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} nicht zyklisch ist?

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und
\mathl{r \geq 2}{.} Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung
\mathdisp {( {\mathbb Z}/(p^r))^\times \longrightarrow ({\mathbb Z}/(p^{r-1}))^\times} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{7 (3+2+2)}
{

a) Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von $K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei $R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass das Potenzieren \maabbeledisp {} { { \left( \Z/(p) \right) }^{\times} } { { \left( \Z/(p) \right) }^{\times} } {x} { x^e } {,} genau dann eine Bijektion ist, wenn $e$ und $p-1$ \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und
\mathl{{\mathbb F}_p = \Z/(p)}{} der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe
\mathdisp {{\mathbb F}_p[i] = {\mathbb F}_p \oplus {\mathbb F}_p i = \{a+bi: a,b \in {\mathbb F}_p\}} { }
in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, für welche $p$ diese Konstruktion einen Körper liefert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es seien $a$, $b$ und $r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit
\mathl{a^r {{|}} b ^r}{} die Teilbarkeit
\mathl{a {{|}} b}{} impliziert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es seien $a$ und $b$ positive natürliche Zahlen. Es seien
\mathl{r_n \, ,n \in \N}{,} und
\mathl{s_n \, ,n \in \N}{,} Folgen von positiven natürlichen Zahlen derart, dass die Teilbarkeitsbeziehung
\mathdisp {a ^{r_n} {{|}} b ^{s_n}} { }
für alle $n$ gilt. Es sei vorausgesetzt, dass die Quotientenfolge
\mathl{r_n/s_n}{} gegen $1$ konvergiert. Zeige, dass $a$ ein Teiler von $b$ ist.

}
{} {}