Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die Restklasse von
\mathl{2^{1563}}{} modulo $23$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathl{3^{1457}}{} in
\mathl{{\mathbb Z}/(13)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man berechne in $\Z/(80)$ die Elemente \aufzaehlungdrei{$3^{1234567}$, }{$2^{1234567}$, }{$5^{1234567}$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise ausschließlich durch Anzahlbetrachtungen
Lemma 5.9,
dass also der kanonische Homomorphismus
\mathl{(\Z/(p^r))^\times \rightarrow (\Z/(p))^\times}{} surjektiv ist ($p$ Primzahl).
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(11)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(23)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(13)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathl{\Z/(p)}{} der zugehörige \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{.} Zeige, dass das Produkt von zwei
\definitionsverweis {primitiven Einheiten}{}{} niemals primitiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in der Einheitengruppe
\mathl{\Z/(17)^{\times}}{} zu jeder möglichen Ordnung $k$ ein Element
\mathl{x \in \Z/(17) ^{\times}}{,} das die Ordnung $k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe
\mathdisp {H \subseteq \Z/(17)
^{\times}} { }
an, die aus vier Elementen besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$.
a) Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring
\zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {} {.}
b) Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$?
c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{}
\mathl{\varphi}{} für natürliche Zahlen $n,m$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (\operatorname{ggT} (m,n))} \cdot {\varphi (
\operatorname{kgV} (m,n))}
}
{ =} {{\varphi (n)} \cdot {\varphi (m)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\varphi (n)}$ die
\definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.} Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)}
}
{ \geq} { { \frac{ \sqrt{n} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde
\definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} in den
\definitionsverweis {Restklassenkörpern}{}{}
\mathl{\Z/(13)}{,}
\mathl{\Z/(17)}{} und $\Z/(19)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die Gruppe der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in ${\mathbb C}$ und die Gruppe
\mathl{\Z/(n)}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
In den nächsten Aufgaben werden die folgenden Begriffe verwendet.
Ein Element $a$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für eine natürliche Zahl $n$ ist.
Ein Element $e$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
heißt \definitionswort {idempotent}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e^2
}
{ = }{e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{p \in \Z}{} eine Primzahl und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$\Z/(p^n)$ nur die beiden trivialen
\definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{}
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
Elemente, die
\definitionsverweis {idempotenten}{}{}
Elemente und die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
von
\mathl{{\mathbb Z}/(60)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 9 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
b) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 99 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {nilpotente Elemente}{}{.}
Zeige, dass dann die Summe $f+g$ ebenfalls nilpotent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $f$ sowohl
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
als auch
\definitionsverweis {idempotent}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{f \in R}{} ein
\definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.}
Zeige, dass $1+f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ \frac{-1+ \sqrt{-3} }{2}
}
{ = }{ \frac{-1+ \sqrt{3} { \mathrm i} }{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte die beiden Unterringe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { \Z[\sqrt{-3}]
}
{ \subset} {\Z[\omega]
}
{ =} { S
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der komplexen Zahlen
\zusatzklammer {$S$ ist also der Ring der
\definitionsverweis {Eisensteinzahlen}{}{}} {} {.}
Finde ein Beispiel von zwei Elementen in $R$, die in $R$ nicht assoziiert sind, wohl aber in $S$. Man gebe daran anschließend ein Beispiel eines
\definitionsverweis {irreduziblen Elementes}{}{}
in $R$, das nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
ist (in $R$). Ist es prim in $S$?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Beweise unter Verwendung
des Satzes von Wilson,
dass
\mathdisp {1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (p-4)^2 \cdot (p-2)^2 =(-1)^{\frac{p+1}{2} } \mod p} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise die \stichwort {eulersche Formel} {} für die
\definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{,}
das ist die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)}
}
{ =} { n \cdot \prod_{ p{{|}} n,\ p \text{ prim} } { \left( 1-{ \frac{ 1 }{ p } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
Elemente, die
\definitionsverweis {idempotenten
}{}{}
Elemente und die
\definitionsverweis {Einheiten
}{}{}
in
\mathl{{\mathbb Z}/(72)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass für natürliche Zahlen $k$ und $n$ mit
\mathl{k \,{{|}} \, n}{} der kanonische Homomorphismus
\maabbdisp {} { { \left( \Z/(n) \right) } ^{\times} } { { \left( \Z/(k) \right) } ^{\times}
} {}
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler $k$ von $n$ mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} { \Z/(n) } { \Z/(k) } {} gilt, dass $a$ in $\Z/(n)$ genau dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn $\varphi(a)$ in $\Z/(k)$ eine Einheit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichne $\nu_p(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt.
a) Zeige: die Abbildung \maabb {\nu_p} { \Z \setminus \{0\} } { \N } {} ist surjektiv.
b) Zeige: es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu_p(nm)
}
{ = }{ \nu_p (n)+ \nu_p(m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
c) Finde eine Fortsetzung
\maabb {\nu_p} { \Q \setminus \{0\} } { \Z
} {}
der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist
\zusatzklammer {wobei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \Q^{\times}
}
{ = }{ \Q \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Multiplikation und $\Z$ mit der Addition versehen ist} {} {.}
d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.
}
{} {}
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