Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 6/latex

\setcounter{section}{6}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle primitiven Elemente von
\mathl{{\mathbb Z}/(27)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungdrei{Finde ein primitives Element in $\Z/(3)$, in $\Z/(9)$ und in $\Z/(27)$. }{Finde eine ganze Zahl, die in $\Z/(3)$ primitiv ist, aber nicht in $\Z/(9)$. }{Zeige, dass jede ganze Zahl, die in $\Z/(9)$ primitiv ist, auch in $\Z/(27)$ primitiv ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe für die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{({\mathbb Z}/(16))^\times}{} explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und
\mathl{r \geq 2}{.} Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung
\mathdisp {( {\mathbb Z}/(p^r))^\times \longrightarrow ({\mathbb Z}/(p^{r-1}))^\times} { . }

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe bezeichnet
\mathl{{\mathbb F}_{121}}{} den Körper mit $121$ Elementen. Darüber hinaus muss muss man nichts über ihn wissen.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde ein primitives Element in
\mathl{\Z/(11)}{} und in
\mathl{\Z/(121)}{.} Man gebe ferner ein Element der Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in
\mathl{\Z/(121)}{} an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in
\mathl{{\mathbb F}_{121}}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {quadratische Reste}{}{} modulo der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
\mathl{< 20}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl mit
\mathl{p=1 \mod 4}{.} Zeige unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass
\mathl{\frac{p-1}{2} !}{} eine Quadratwurzel von $-1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Zerlegung von
\mathl{X^{p-1}-1}{} in \definitionsverweis {irreduzible Polynome}{}{} im Polynomring
\mathl{\Z/(p)[X]}{.} Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und
\mathl{a \in \Z/(p)}{} \definitionsverweis {primitiv}{}{.} Zeige, dass von den $p$ Elementen aus
\mathl{\Z/(p^2)}{,} die auf $a$ abgebildet werden, genau
\mathl{p-1}{} Stück primitiv in
\mathl{\Z/(p^2)}{} sind. Finde für
\mathl{p=7}{} und
\mathl{a=3}{} dasjenige Element
\mathl{b \in \Z/(49)}{} mit
\mathl{b=a \mod 7}{,} das nicht primitiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde Quadratwurzeln für $2$ modulo $p$ für alle Primzahlen $p$ mit
\mathl{p=\pm 1 \mod 8}{} und
\mathl{p \leq 32}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{} einer \definitionsverweis {zyklischen Gruppe}{}{} wieder zyklisch ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} {H_1 \times \cdots \times H_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Produktgruppe}{}{} der endlichen Gruppen
\mathl{H_1 , \ldots , H_n}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp G }
{ =} { \operatorname{kgV} ( \exp H_i, i = 1 , \ldots , n ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {$G$ ist genau dann \definitionsverweis {zyklisch}{}{,} wenn alle $H_i$ zyklisch sind und wenn deren Ordnungen paarweise \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Was besagt die Artinsche Vermutung über primitive Reste?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und
\mathl{S_1 , \ldots , S_n}{} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} mit dem \definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} {S_1 \times \cdots \times S_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen \maabbdisp {\varphi_i} {R} {S_i } {} für
\mathl{i = 1 , \ldots , n}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a$, $b$ und $r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit
\mathl{a^r {{|}} b ^r}{} die Teilbarkeit
\mathl{a {{|}} b}{} impliziert.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass
\mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} \definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich
\mathl{\varphi(\varphi(n))}{} ist, wobei $\varphi$ die \definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{} bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn
\mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} nicht zyklisch ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{7 (3+2+2)}
{

a) Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von $K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei $R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass das Potenzieren \maabbeledisp {} { { \left( \Z/(p) \right) }^{\times} } { { \left( \Z/(p) \right) }^{\times} } {x} { x^e } {,} genau dann eine Bijektion ist, wenn $e$ und $p-1$ \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und
\mathl{{\mathbb F}_p = \Z/(p)}{} der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe
\mathdisp {{\mathbb F}_p[i] = {\mathbb F}_p \oplus {\mathbb F}_p i = \{a+bi: a,b \in {\mathbb F}_p\}} { }
in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, für welche $p$ diese Konstruktion einen Körper liefert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien $a$ und $b$ positive natürliche Zahlen. Es seien
\mathl{r_n \, ,n \in \N}{,} und
\mathl{s_n \, ,n \in \N}{,} Folgen von positiven natürlichen Zahlen derart, dass die Teilbarkeitsbeziehung
\mathdisp {a ^{r_n} {{|}} b ^{s_n}} { }
für alle $n$ gilt. Es sei vorausgesetzt, dass die Quotientenfolge
\mathl{r_n/s_n}{} gegen $1$ konvergiert. Zeige, dass $a$ ein Teiler von $b$ ist.

}
{} {}