1. Es ist

    und

  2. Es ist

    und

    Die Taylorentwicklung im Punkt vom Grad ist daher

  3. Es ist eine Nullstelle von , wir behaupten, dass dies die einzige Nullstelle ist. Wegen können wir annehmen. Die Gleichung

    bzw. führt über den natürlichen Logarithmus auf und auf

    Die Ableitung von ist

    Für ist dies negativ und für ist dies positiv. Somit ist unterhalb von streng fallend und oberhalb von streng wachsend und das Minimum liegt in mit dem Wert vor. Der Wert wird also von und damit auch von nur einmal angenommen.

  4. Wegen

    liegen bei und bei Nullstellen der Ableitung vor. Wegen

    liegt in ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert vor, das auch ein globales Minimum ist, da der Wert nirgendwo sonst angenommen wird. Wegen

    liegt au der Stelle ein lokales isoliertes Maximum vor. Wir behaupten, dass die Ableitung keine weitere Nullstelle besitzt. Die Bedingung

    führt auf bzw. auf

    mit den beiden bekannten Lösungen und . Die Ableitung von ist . Dies ist negativ für und positiv für . Deshalb ist unterhalb von streng fallend und oberhalb davon streng wachsend und besitzt nur die beiden angegebenen Nullstellen. Für gibt es noch ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert . Dies folgt daraus, dass es zwischen und keine weitere Nullstelle der Ableitung gibt.