Kurvendiskussion/e^x-x^e/Aufgabe/Lösung
- Es ist
und
- Es ist
und
Die Taylorentwicklung im Punkt vom Grad ist daher
- Es ist eine Nullstelle von , wir behaupten, dass dies die einzige Nullstelle ist. Wegen
können wir
annehmen. Die Gleichung
bzw. führt über den natürlichen Logarithmus auf und auf
Die Ableitung von ist
Für ist dies negativ und für ist dies positiv. Somit ist unterhalb von streng fallend und oberhalb von streng wachsend und das Minimum liegt in mit dem Wert vor. Der Wert wird also von und damit auch von nur einmal angenommen.
- Wegen
liegen bei und bei Nullstellen der Ableitung vor. Wegen
liegt in ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert vor, das auch ein globales Minimum ist, da der Wert nirgendwo sonst angenommen wird. Wegen
liegt au der Stelle ein lokales isoliertes Maximum vor. Wir behaupten, dass die Ableitung keine weitere Nullstelle besitzt. Die Bedingung
führt auf bzw. auf
mit den beiden bekannten Lösungen und . Die Ableitung von ist . Dies ist negativ für und positiv für . Deshalb ist unterhalb von streng fallend und oberhalb davon streng wachsend und besitzt nur die beiden angegebenen Nullstellen. Für gibt es noch ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert . Dies folgt daraus, dass es zwischen und keine weitere Nullstelle der Ableitung gibt.