Lebesgue-Raum/Unstetiger Repräsentant/Aufgabe/Lösung


Es sei ein beliebiger Repräsentant. Wir betrachten und . Dabei bezeichnet die Menge derjenigen Zahlen, die in jeder Komponente ein rationales Vielfaches der irrationalen Zahl sind. Die beiden Mengen sind zueinander disjunkt und beide abzählbar, daher ist auch ihre Vereinigung abzählbar. Wir ersetzen durch die Funktion , die durch

definiert ist. Die beiden Funktionen unterscheiden sich nur auf einer Nullmenge, daher definieren sie die gleiche Klasse in . Für jeden Punkt und jede offene Umgebung sind die beiden Mengen und

dicht, daher kann in nicht stetig sein.