a) Es sei ein Häufungspunkt von . Dann gibt es eine gegen konvergente Teilfolge. Nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit konvergiert die Bildfolge dieser Teilfolge gegen , sodass ein Häufungspunkt der Bildfolge ist.
b) Zu einer beschränkten Menge unter einer stetigen Abbildung
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ist stets
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da es eine Folge in gibt, die gegen das Supremum von konvergiert. Die Bildfolge davon konvergiert gegen . Wenn speziell die Menge der Häufungspunkte ist, so ergibt sich daraus und aus Teil a) die Abschätzung
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c) Wir betrachten die Folge , die für gerade Indizes den Wert und für ungerade den Wert besitzt. Die Häufungspunkte sind also , der Limes superior davon ist . Es sei . Die Bildfolge schwankt zwischen und und somit ist der Limes superior der Bildfolge gleich . Das ist echt größer als
.