Linear Unabhängig/Summe/3/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}v_{1},v_{2},v_{3}$ linear unabhängig und sei

${}b_{1}v_{1}+b_{2}(v_{1}+v_{2})+b_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3})=0\,$

eine Darstellung der ${}0$. Dies bedeutet

${}(b_{1}+b_{2}+b_{3})v_{1}+(b_{2}+b_{3})v_{2}+b_{3}v_{3}=0\,,$

woraus wegen der linearen Unabhängigkeit

${}b_{3},b_{2}+b_{3},b_{1}+b_{2}+b_{3}=0\,,$

also

${}b_{1},b_{2},b_{3}=0\,$

folgt.

Es seien nun umgekehrt ${}v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{2}+v_{3}$ linear unabhängig und sei

${}a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}=0\,$

eine Darstellung der ${}0$. Dann ist

${}0=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}=(a_{1}-a_{2})v_{1}+(a_{2}-a_{3})(v_{1}+v_{2})+a_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3})\,.$

Daraus ergibt sich

${}a_{3},a_{2}-a_{3},a_{1}-a_{2}=0\,$

und daraus

${}a_{1},a_{2},a_{3}=0\,.$

Zur gelösten Aufgabe