Lineare Abbildung/Ebene/Bild und Urbild/3/Aufgabe/Lösung

1. Die Gerade kann man auch als

   ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}={\left\{t{\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

   auffassen. Das Bild des erzeugenden Vektors ist

   ${}{\begin{pmatrix}8&4\\5&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}76\\80\end{pmatrix}}\,.$

   Alle Vielfache von ${}{\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}$ werden auf Vielfache von ${}{\begin{pmatrix}76\\80\end{pmatrix}}$ abgebildet, somit ist die Bildgerade gekürzt gleich

   $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}19\\20\end{pmatrix}}.$

2. Wir schreiben die Koordinaten des ersten Raumes als ${}(x,y)$ und die Koordinaten den zweiten Raumes als ${}(u,v)$. Aus der Beziehung

   ${}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8&4\\5&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

   ergibt sich

   ${}6u-11v=6(8x+4y)-11(5x+9y)=-7x-75y\,.$

   Somit wird die Urbildgerade durch die Gleichung

   ${}-7x-75y=0\,$

   beschrieben.

Zur gelösten Aufgabe