Lineare Abbildung/Faser/Affiner Unterraum/Kern/Beispiel

Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ und einem Element ${}Q\in W$ ist das Urbild zu ${}Q$ (die Faser zu ${}Q$)

${}\varphi ^{-1}(Q)={\left\{P\in V\mid \varphi (P)=Q\right\}}\,$

ein affiner Unterraum von ${}V$. Im nichtleeren Fall kann man jeden Punkt ${}P_{0}\in V$ mit

${}\varphi (P_{0})=Q\,$

als Aufpunkt verwenden. Der Verschiebungsraum ist dann gerade der Kern von ${}\varphi$. Durch eine lineare Abbildung wird ${}V$ in eine geschichtete Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen zerlegt.