Lineare Abbildung/Kern/4 nach 3/2/Aufgabe/Lösung

${\begin{pmatrix}4&1&0&5\\2&7&5&3\\-2&7&-6&2\end{pmatrix}}$

Es geht um das lineare Gleichungssystem

${}4x+y+5w=0\,,$

${}2x+7y+5z+3w=0\,,$

${}-2x+7y-6z+2w=0\,.$

Es ist I+2III gleich

${}15y-12z+9w=0\,$

und II+III ist gleich

${}14y-z+5w=0\,.$

Es ist -IV+12 V gleich

${}153y+51w=0\,.$

Also kann man ${}w$ frei vorgeben und es ist

${}y=-{\frac {1}{3}}w\,,$

${}{\begin{aligned}z&=14y+5w\\&=-14{\frac {1}{3}}w+5w\\&={\frac {1}{3}}w,\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}{\left(7y-6z+2w\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(-7{\frac {1}{3}}w-6{\frac {1}{3}}w+2w\right)}\\&=-{\frac {7}{6}}w.\end{aligned}}$

Der Kern ist also

${\left\{w{\begin{pmatrix}-{\frac {7}{6}}\\-{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{3}}\\1\end{pmatrix}}\mid w\in \mathbb {R} \right\}}.$

Zur gelösten Aufgabe