Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Surjektiv und Spalten Erzeugendensystem/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}K^{n}&{\stackrel {\Psi _{\mathfrak {v}}}{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\K^{m}&{\stackrel {\Psi _{\mathfrak {w}}}{\longrightarrow }}&W.&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

Da die Koordinatenabbildungen biljektiv sind, ist ${}\varphi$ genau dann surjektiv, wenn ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$

surjektiv ist. Der Bildvektor des ${}j$-ten Standardvektors ${}e_{j}$ unter ${}M$ ist die ${}j$-te Spalte von ${}M$ und der Bildraum zu ${}M$ ist der von den Spalten erzeugte Untervektorraum. Somit ist die Surjektivität äquivalent dazu, dass die Spalten ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$ bilden.

Zur gelösten Aufgabe