Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition

Multilinear

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und

$\triangle \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

eine Abbildung

in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$. Man nennt ${}\triangle$ multilinear, wenn für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes ${}(n-1)$-Tupel

$(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$

die induzierte Abbildung

$V\longrightarrow W,\,u\longmapsto \triangle (v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$

linear ist.

Eine multilineare Abbildung ${}\triangle$ heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also ${}v_{i}=v_{j}$ für ein Paar ${}i\neq j$, so ist ${}\triangle (v)=0$.