Lineare Abbildung/Zahlenraum/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

1. Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist

   ${}\varphi (0)=\varphi (0+0)=\varphi (0)+\varphi (0)\,.$

   Addition mit dem negativen Element zu ${}\varphi (0)$, also mit ${}-\varphi (0)$, ergibt

   ${}0=\varphi (0)\,.$

2. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}k$. Für

   ${}k=1\,$

   ist dies einfach die Verträglichkeit einer linearen Abbildung mit der Skalarmultiplikation. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Verträglichkeit mit Addition und Skalarmultiplikation ist

   ${}{\begin{aligned}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k+1}s_{i}v_{i}\right)}&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\right)}+\varphi {\left(s_{k+1}v_{k+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}+\varphi {\left(s_{k+1}v_{k+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}+s_{k+1}\varphi {\left(v_{k+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k+1}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe