Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$-Vektorräume. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   eine bijektive lineare Abbildung. Dann ist auch die Umkehrabbildung

   $\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

   linear.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M=(a_{ij})_{ij}$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Zu ${}i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die ${}i$-te Zeile und die ${}j$-te Spalte weglässt. Dann ist (bei ${}n\geq 2$ für jedes feste ${}i$ bzw. ${}j$)

   ${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$

3. Es sei ${}P_{i}$, ${}i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$. Dann gibt es für jeden Punkt ${}P\in E$ eine eindeutige Darstellung

   ${}P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,$

   mit

   ${}\sum _{i\in I}a_{i}=1$.