Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe/Lösung

  1. Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es sei

    eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen und durch die Matrix beschrieben werde. Dann wird bezüglich der Basen und durch die Matrix

    beschrieben, wobei und die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von nach und von nach

    beschreiben.
  2. Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
    1. .
    2. Die Zeilen von sind linear unabhängig.
    3. ist invertierbar.
    4. .
  3. Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler Vektorraum. Es sei

    eine lineare Abbildung. Dann ist genau dann ein Eigenwert von , wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms

    ist.