Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/43/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von ${}V$. Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

   ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,.$

2. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Dann gelten folgende Aussagen.
   1. Eine lineare Abbildung

      $\varphi \colon U\longrightarrow V$

      mit einem weiteren Vektorraum ${}U$ induziert eine lineare Abbildung

      $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,W\right)},\,f\longmapsto f\circ \varphi .$

   2. Eine lineare Abbildung

      $\psi \colon W\longrightarrow T$

      mit einem weiteren Vektorraum ${}T$ induziert eine lineare Abbildung

      $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,T\right)},\,f\longmapsto \psi \circ f.$

3. Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}n$ Elementen. Dann besitzt die Permutationsgruppe ${}\operatorname {Perm} \,(M)\cong S_{n}$ genau ${}n!$ Elemente.

Zur gelösten Aufgabe